已知复数z满足|z+√3+i|≤1,求|z-√3|^2+|z-2i|^2的取值范围
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发布时间：2024-10-02 17:20
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时间：2024-11-15 13:26
则有|z+√3+i|=|x+yi+√3+i|=|(x+√3)+(y+1)i|=√[(x+√3)^+(y+1)^]≤1
<=>
(x+√3)^+(y+1)^≤1
此式的几何意义为：点(x,y)表示圆心在(-√3,-1)，半径为1的圆C上以及圆内的部分！
所求式:
t=|z-√3|^+|z-2i|^=|x+yi-√3|^+|x+yi-2i|^
=|(x-√3)+yi|^+|x+(y-2)i|^
=(x-√3)^+y^
+
x^+(y-2)^
=2x^-2√3x
+
2y^-4y
+7
=2(x
-√3/2)^
+
2(y-1)^
+7/2
=2*{√[(x
-√3/2)^+(y-1)^]}^
+7/2
设a=√[(x-√3/2)^+(y-1)^]，则t=2a^+7/2，要想确定t的取值范围，只需先求出a的取值范围即可；
而a的几何意义显然是，点(x,y)到点(√3/2,1)的距离
因此，问题转化为：求圆外一点(√3/2,1)到圆(x+√3)^+(y+1)^=1上及其内部距离的取值范围！
由圆外一点到圆的距离的性质可知：
圆外一点到圆上及其内部的最短距离是此点到圆心的距离再减去半径；
而最长距离则是此点到圆心的距离加上半径
即：a的最小值是点(√3/2,1)到圆心(-√3,-1)的距离减去半径1：
a(min)=√[(√3/2
+√3)^+(1+1)^]
-1
=√43/2
-1
a的最大值是点(√3/2,1)到圆心（-√3,-1）的距离加上半径1：
a(max)=√[(√3/2
+√3)^+(1+1^)]
+1
=√43/2
+1
而a的取值范围则在这两个值之间，有:√43/2
-1≤a≤√43/2
+1
于是:
(√43/2
-1)^
≤a^≤(√43/2
+1)^
<=>47/4
-√43
≤a^≤47/2
+√43
<=>27-2√43≤
2a^+7/2
≤27+2√43
即27-2√43≤t≤27+2√43
原所求|z-√3|^+|z-2i|^的取值范围是[27-2√43
,
27+2√43]
