数学难题:若a是非零自然数,n是质数且与a互质,则a^(n-1)-1定能被n整除...
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发布时间：2024-10-02 17:19
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时间：2024-10-06 20:25
证明
一、准备知识： 引理1．剩余系定理2 若a,b,c为任意3个整数，m为正整数，且（m,c)=1，则当ac≡bc(mod m）时，有a≡b(mod m) 证明：ac≡bc(mod m）可得ac–bc≡0(mod m）可得（a-b)c≡0(mod m）因为（m,c)=1即m,c互质，c可以约去，a–b≡0(mod m）可得a≡b(mod m) 引理2．剩余系定理5 若m为整数且m>1,a[1],a[2],a[3],a[4]，…a[m]为m个整数，若在这m个数中任取2个整数对m不同余，则这m个整数对m构成完全剩余系。 证明：构造m的完全剩余系（0,1,2，…m-1），所有的整数必然这些整数中的1个对模m同余。取r[1]=0,r[2]=1,r[3]=2,r[4]=3，…r=i-1,1<i<=m。令（1）：a[1]≡r[1](mod m),a[2]≡r[2](mod m),a≡r(mod m）（顺序可以不同），因为只有在这种情况下才能保证集合{a1,a2,a3,a4，…am}中的任意2个数不同余，否则必然有2个数同余。由式（1）自然得到集合{a1,a2,a3,a4，…am}对m构成完全剩余系。 引理3．剩余系定理7 设m是一个整数，且m>1，b是一个整数且（m,b)=1。如果a1,a2,a3,a4，…am是模m的一个完全剩余系，则ba[1],ba[2],ba[3],ba[4]，…ba[m]也构成模m的一个完全剩余系。 证明：若存在2个整数ba和ba[j]同余即ba≡ba[j](mod m），根据引理1则有a≡a[j](mod m）。根据完全剩余系的定义和引理4（完全剩余系中任意2个数之间不同余，易证明）可知这是不可能的，因此不存在2个整数ba和ba[j]同余。由引理5可知ba[1],ba[2],ba[3],ba[4]，…ba[m]构成模m的一个完全剩余系。 引理4．同余定理6 如果a,b,c,d是四个整数，且a≡b(mod m),c≡d(mod m），则有ac≡bd(mod m) 证明：由题设得ac≡bc(mod m),bc≡bd(mod m），由模运算的传递性可得ac≡bd(mod m) 二、证明过程： 构造素数p的完全剩余系P={1,2,3,4…（p-1)}，因为（a,p)=1，由引理3可得A={a,2a,3a,4a，…（p-1)a}也是p的一个完全剩余系。令W=1*2*3*4…*(p-1），显然W≡W(mod p）。令Y=a*2a*3a*4a*…（p-1)a，因为{a,2a,3a,4a，…（p-1)a}是p的完全剩余系，由引理2以及引理4可得a*2a*3a*…（p-1)a≡1*2*3*…（p-1)(mod p）即W*a^(p-1）≡W(modp）。易知（W,p)=1，由引理1可知a^(p-1）≡1(modp）
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时间：2024-10-06 20:23
为了习惯令p=n表示素数
A组取a 2a 3a ...........(p-1)a，它们两两不同余
B组取1 2 3 ..............(p-1)，它们两两不同余，
所以A组 B组都是P的既约同余系
A组相乘得a^(p-1)*(p-1)!
B组相乘得 （p-1)!
二者对模P必同余，因此a^(p-1)同余1（否则设a^(p-1)同余1<r<p, 设(p-1)!同余0<s<p, 则rs同余s, rs-s=(r-1)s是p的倍数，而0<r-1、s<p，积不可能是p的倍数）
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时间：2024-10-06 20:28
