如何证明任意一个方阵可由三角矩阵相乘的形式得到?
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发布时间：2024-10-02 17:08
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时间：2024-11-06 01:39
首先，任何一个方阵，都可以通过“把k1行的m倍加到k2行上去”这样的操作，转化为行最简阶梯型。这个很好理解对吧。我们解线性方程组的时候都是这么做的。由于现在原矩阵是个方阵，所以你的行最简阶梯型就是一个上三角阵。
我们先心里有数：原矩阵A经过了若干次“把k1行的m倍加到k2行上去”这样的操作，变成了上三角阵B
其次，考察“把k1行的m倍加到k2行上去”这样的操作，这个一个初等行变换，就是左乘了一个初等矩阵。比如把第一行的2倍加到第二行上去，就是原矩阵左乘了这样的一个变换矩阵
1 0 0 ... 0
2 1 0 ... 0
0 0 1 ... 0
...
0 0 0 ... 1
这个变换矩阵还是一个三角阵！！可能是上三角也可能是下三角。
比如“第二行的2倍加到第一行上去”，变换矩阵就是
1 2 0 ... 0
0 1 0 ... 0
0 0 1 ... 0
...
0 0 0 ... 1
那就是一个上三角阵了。
但是总而言之，变换矩阵也是一个三角阵。
所以：“原矩阵A经过一系列这样的变换变成了上三角阵B”，就是“原矩阵A左乘了一系列三角阵变成了B”，
P1* P2 * ... * PN *A = B
其中Pi 都是三角阵，而且是可逆的（因为初等变换矩阵都是满秩，可逆的）
所以等式两边乘以了那些Pi的逆，就是：
A= (PN)^(-1) * ... * (P2)^(-1) * (P1)^(-1) * B
注意到三角阵的逆还是三角阵，所以这样就把A表示成了三角阵的乘积。
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时间：2024-11-06 01:34
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时间：2024-11-06 01:37
首先，任何一个方阵，都可以通过“把k1行的m倍加到k2行上去”这样的操作，转化为行最简阶梯型。这个很好理解对吧。我们解线性方程组的时候都是这么做的。由于现在原矩阵是个方阵，所以你的行最简阶梯型就是一个上三角阵。
我们先心里有数：原矩阵A经过了若干次“把k1行的m倍加到k2行上去”这样的操作，变成了上三角阵B
其次，考察“把k1行的m倍加到k2行上去”这样的操作，这个一个初等行变换，就是左乘了一个初等矩阵。比如把第一行的2倍加到第二行上去，就是原矩阵左乘了这样的一个变换矩阵
1 0 0 ... 0
2 1 0 ... 0
0 0 1 ... 0
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这个变换矩阵还是一个三角阵！！可能是上三角也可能是下三角。
比如“第二行的2倍加到第一行上去”，变换矩阵就是
1 2 0 ... 0
0 1 0 ... 0
0 0 1 ... 0
...
0 0 0 ... 1
那就是一个上三角阵了。
但是总而言之，变换矩阵也是一个三角阵。
所以：“原矩阵A经过一系列这样的变换变成了上三角阵B”，就是“原矩阵A左乘了一系列三角阵变成了B”，
P1* P2 * ... * PN *A = B
其中Pi 都是三角阵，而且是可逆的（因为初等变换矩阵都是满秩，可逆的）
所以等式两边乘以了那些Pi的逆，就是：
A= (PN)^(-1) * ... * (P2)^(-1) * (P1)^(-1) * B
注意到三角阵的逆还是三角阵，所以这样就把A表示成了三角阵的乘积。
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时间：2024-11-06 01:39
去看一下下面的链接就行了
http://zhidao.baidu.com/question/546251937
