...若a.b.c属于正整数,且a+b+c=1 求证:1/a+1/b+1/c大于等于9...

发布网友 发布时间：2024-10-02 09:45

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热心网友 时间：2024-10-08 10:26

已知a,b,c属于正实数,且a+b+c=1,求证1/a+1/b+1/c大于等于9
1/a+1/b+1/c
=(a+b+c)/a+(a+b+c)/b+(a+b+c)/c
=1+(b+c)/a+1(a+c)/b+1(a+b)/c
=3+b/c+c/b+a/c+c/a+a/b+b/a （由于b/a+a/b>=2，c/a+a/c>=2，c/b+b/c>=2）
>=3+2+2+2
=9

2.
3（a平方+b平方+c平方）=a平方+b平方+c平方+2（a平方+b平方+c平方)>=a平方+b平方+c平方+2ab+2bc+2ac=(a+b+c)平方=1
3（a平方+b平方+c平方）>=1
a平方+b平方+c平方>=1/3

热心网友 时间：2024-10-08 10:26

因为有a+b+c=1，所以

1/a+1/b+1/c
=（a+b+c）/a+（a+b+c）/b+（a+b+c）/c
=3+（a/b+b/a）+(c/a+a/c)+(c/b+b/c)
因为a.b.c是正数，
所以a/b+b/a≥2，c/a+a/c≥2，c/b+b/c≥2
1/a+1/b+1/c≥9

热心网友 时间：2024-10-08 10:26

用柯西，(a+b+c)(1/a+1/b+1/c)>=(1+1+1)^2=9
注其中第一个1是根a*(1/根a)，后面是b和c，当且仅当全为1/3时取=
(1+1+1)(a^2+b^2+c^2)>=(a+b+c)^2=1，当且仅当全为1/3时取=
整理得证
前面要写因为正数
被你整数吓了…

热心网友 时间：2024-10-08 10:28

a+b+c=1

1/a+1/b+1/c=(+b+c)/a+(+b+c)/b+(+b+c)/c=3+(a/b+b/a)+(c/a+a/c)+

(b/c+c/b)>=9

a平方+b平方+c平方=1-2（ab+bc+ca）

a平方+b平方+c平方+2（ab+bc+ca）=1

ab+bc+ca<=1/3

a平方+b平方+c平方=1-2（ab+bc+ca）>=1/3

热心网友 时间：2024-10-08 10:28

a.b.c属于正整数，且a+b+c=1
这怎么可能