...1)作两条动弦AB,AC,且直线AB,AC的斜率的乘积为3.(1)问直线BC是_百 ...
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发布时间：2024-10-02 14:13
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时间：2024-10-09 00:01
当BC与x轴垂直时，有x 1 =x 2 ，y 1 =-y 2 ，
故：3= y 1 -1 x 1 -1 ? - y 1 -1 x 1 -1 = 1- y 21 ( x 1 -1) 2 = 2(1- x 21 ) (1- x 1 ) 2 = 2(1+ x 1 ) 1- x 1
∴x 1 = 1 5 ，与|x 1 |≥ 2 2 矛盾，因此BC不与x轴垂直..（3分）
当BC与y轴垂直时，有x 1 =-x 2 ，y 1 =y 2 ，
故：3= y 1 -1 x 1 -1 ? y 1 -1 - x 1 -1 = (1- y 1 ) 2 1- x 21 = 2 (1- y 1 ) 2 1- y 21 = 2(1- y 1 ) 1+ y 1
∴y 1 =- 1 5 ，因此BC可与y轴垂直，此时BC的方程为y=- 1 5 ．（5分）
（2）证明：当BC不与坐标轴垂直时，k AB ?k AC = y 1 -1 x 1 -1 ? y 2 -1 x 2 -1 =3，
故3（x 1 -1）（x 2 -1）=（y 1 -1）（y 2 -1）．…①…（6分）
令BC：y=kx+b，代入双曲线方程有：2x 2 -（kx+b） 2 =1?（2-k 2 ）x 2 -2kbx-b 2 -1=0．…②
x 1 ，x 2 是方程②的两个实根．令f（x）=（2-k 2 ）x 2 -2kbx-b 2 -1，
则（x 1 -1）（x 2 -1）= f(1) 2- k 2 = 2- k 2 -2kb- b 2 -1 2- k 2 ．③…..（8分）
直线方程又可写成：x= y-b k ，代入2x 2 -y 2 =1，有：2（y-b） 2 -k 2 y 2 =k 2 ，整理得：（2-k 2 ）y 2 -4by+2b 2 -k 2 =0．…④
y 1 ，y 2 是方程④的两个实根．
令g（y）=（2-k 2 ）y 2 -4by+2b 2 -k 2 ．
（y 1 -1）（y 2 -1）= g(1) 2- k 2 = 2-2 k 2 -4b+2 b 2 2- k 2 ．…⑤…（10分）
③，⑤两式代入①式，有： 3(1- k 2 -2kb- b 2 ) 2- k 2 = 2-2 k 2 -4b+2 b 2 2- k 2 ，
故3[1-（k+b） 2 ]=2[（b-1） 2 -k 2 ]，
从而：3（1-k-b）（1+k+b）=2（b-1-k）（b-1+k）．…⑥
因为点A（1，1）不在直线y=kx+b上，故k+b≠1．
利用⑥，可知：3 （1+k+b）+2（b-1-k）=0，
即k+5b+1=0，所以 - 1 5 =k? 1 5 +b ．
因此直线BC过定点M ( 1 5 ，- 1 5 ) ，直线y=- 1 5 也过定点M．
综上所述，直线BC恒过定点M ( 1 5 ，- 1 5 ) ．…（14分）
