[高分] 两个梯形数学问题,答得好的追加
发布网友
发布时间：2024-10-02 14:45
共4个回答
热心网友
时间：2024-10-10 08:51
已知梯形ABCD，AB//CD且有对角线AC＝BD，
求证，ABCD为等腰梯形
设对角线AC、BD的交点为M，则
角MAB=角MCD，角MBA=角MDC(都是内错角)
所以三角形ABM相似于三角形DCM
AM/CM=BM/DM 设比值=k
则AM=k*CM，BM=k*DM。
而AC=BD，也就是说：AM+CM=BM+DM，用上式代入，有
(1+k)CM=(1+k)DM
两边约去(1+k)，得到 CM=DM
故MCD是等腰三角形，角MCD=角MDC
再结合AC=BD、CD=CD得到
三角形ACD全等于三角形BDC
从而 AD=BC。
1
梯形ABCD中，AD、BC是上、下底，AC、BD是对角线。
分别过A、D两点作下底BC的上的高AE、AF，E、F是垂足。
由于AC=BD，AE=DF，所以三角形ACE与三角形DBF全等(HL)
那么就有BF=CE
而因为BE=BC-CE，CF=BC-BF，所以BE=CF
从而易证三角形ABE与三角形DCF全等(SAS)
所以AB=DC，是等腰梯形
2
当两个底角B和C相等时，证明如下：
角BAD=180度-角B，角CDA=180度-角C
所以角BAD=角CDA
所以角BAE=角CDF(E、F还是垂足，用同样的辅助线)
再结合角B=角C，AC=DF可证：
三角形ABE与三角形DCF全等(AAS)
所以AB=DC，是等腰梯形
1的第二种证法：
已知梯形ABCD，AB//CD且有对角线AC＝BD，
求证，ABCD为等腰梯形
证明，作辅助线：过B作BE//AC，交DC延长线于E点
由AC//BE，且AB//CD,得到，AC＝BE
又因为，AC＝BD，得到，BE＝BD
在三角形BDE中，BE＝BD，所以为等腰三角形，
∠BDE＝∠BED
AC//BE,所以，角ACD＝角BED＝角BDE
又有 AC＝BD CD＝CD
两边及其夹角相等，三角形ACD与BDC全等
因此，AD＝BC
所以，ABCD为等腰梯形
由此而推想出第三种方法：
已知梯形ABCD，AB//CD且有对角线AC＝BD，
求证，ABCD为等腰梯形
证明，作辅助线：过C作CF//BD，交AB延长线于F点
由BD//CF，且AB//CD,得到，BD＝CF
又因为，AC＝BD，得到，AC＝CF
在三角形ACF中，AC＝CF，所以为等腰三角形，
∠CAF＝∠CFA
BD//CF,所以，角CAB＝角CFA＝角DBA
又有 AC＝BD AB＝AB
两边及其夹角相等，三角形ABD与BAC全等
因此，AD＝BC
所以，ABCD为等腰梯形
热心网友
时间：2024-10-10 08:46
热心网友
时间：2024-10-10 08:50
已知梯形ABCD，AB//CD且有对角线AC＝BD，
求证，ABCD为等腰梯形
证明，作辅助线：过B作BE//AC，交DC延长线于E点
由AC//BE，且AB//CD,得到，AC＝BE
又因为，AC＝BD，得到，BE＝BD
在三角形BDE中，BE＝BD，所以为等腰三角形，
∠BDE＝∠BED
AC//BE,所以，角ACD＝角BED＝角BDE
又有 AC＝BD CD＝CD
两边及其夹角相等，三角形ACD与BDC全等
因此，AD＝BC
所以，ABCD为等腰梯形
2.同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形
过A、B分别作AE、BF垂直于CD
角C=角D，角AED=角BFC=90
所以三角形ADE、BCF全等
所以，AD=BC
即梯形是等腰梯形。
当然方法很多。
热心网友
时间：2024-10-10 08:46
