为什么正项级数收敛的必要条件是部分和要有界

发布网友发布时间：2024-10-02 15:45

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热心网友时间：2024-10-21 08:27

部分和是指前n项的和，不是任意部分的和；正项级数收敛的充要条件不是其部分和有界，而是部分和数列有界；

级数收敛的定义和正项级数收敛的定义是普遍性和特殊性的关系：对于级数而言，如果部分和数列极限存在，则级数收敛；

对于正项级数，其部分和数列是单调内递增的，而单调有界则极限存在，所以容正项级数收敛的充要条件只要求有界即可。

必要性成立，假设 n→∞ xn=A。由收敛的定义，对于?=1，存在正数N，当n＞N时，|xn-A|＜1，从而A|+1。

取M={|A|+1，x1，…，xN}，则对于任意n，均有|xn|≤M，即数列{xn}有界。但是，有界序列不一定收敛，如xn=（-1），有界但不收敛。

扩展资料：

设函数f(x)的定义域为D，f(x)在集合D上有定义。如果存在数K1，使得 f(x)≤K1对任意x∈D都成立，则称函数f(x)在D上有上界。

反之，如果存在数字K2，使得 f(x)≥K2对任意x∈D都成立，则称函数f(x)在D上有下界，而K2称为函数f(x)在D上的一个下界。

如果存在正数M，使得 |f(x)|≤M 对任意x∈D都成立，则称函数在D上有界。如果这样的M不存在，就称函数f(x)在D上无界；等价于，无论对于任何正数M，总存在x1属于X，使得|f(x1)|>M，那么函数f(x)在X上无界。此外，函数f(x)在X上有界的充分必要条件是它在X上既有上界也有下界。

举例：

一般来说，连续函数在闭区间具有有界性。例如: y=x+6在[1，2]上有最小值7，最大值8，所以说它的函数值在7和8之间变化，是有界的，所以具有有界性。但正切函数在有意义区间，比如(-π/2，π/2)内则无界。