已知Y=AX立方减2AX平方+B在区间负2到1的最大值是5,最小值是负11...

发布网友发布时间：2024-10-01 23:09

共1个回答

热心网友时间：2024-10-17 13:32

解：函数Y
=
AX
3
–
2AX
2
+
B在[-2，1]上的最大值是5，最小值是
-11，求导可得Y
’
=
3AX
2
–
4AX
=
AX(3X
–
4)，对A的值分类讨论可得：
1）如果A
=
0，那么Y
=
B是常值函数，不符题意，舍去；
2）如果A
>
0，那么当X
<
0或者X
>
4/3时，Y
’
=
AX(3X
–
4)
>
0，所以原函数在X
<
0或者X
>
4/3上单调递增；
当0
<
X
<
4/3时，Y
’
=
AX(3X
–
4)
<
0，所以原函数在0
<
X
<
4/3上单调递减；
本题中X∈[-2，1]，所以原函数在
-2
<
X
<
0上单调递增，在0
<
X
<
1上单调递减，所以当X
=
0时，Y
max
=
B
=
5
；
原函数在X
=
-2或者X
=
1处取到最小值：
当X
=
-2时，Y
=
A(-2)
3
–
2A(-2)
2
+
B
=
-8A
–
8A
+
B
=
B
–
16A
=
5
–
16A
；
当X
=
1时，Y
=
A*1
3
–
2A*1
2
+
B
=
A
–
2A
+
B
=
B
–
A
=
5
–
A
；
而A
>
0，因此16A
>
A，进而
-16A
<
-A，可知5
–
16A
<
5
–
A，因此当X
=
-2时，Y
min
=
5
–
16A
=
-11，移项可得16
=
16A，所以A
=
1，代入可得Y
=
X
3
–
2X
2
+
5
；
3）如果A
<
0，那么当X
<
0或者X
>
4/3时，Y
’
=
AX(3X
–
4)
<
0，所以原函数在X
<
0或者X
>
4/3上单调递减；
当0
<
X
<
4/3时，Y
’
=
AX(3X
–
4)
>
0，所以原函数在0
<
X
<
4/3上单调递增；
本题中X∈[-2，1]，所以原函数在
-2
<
X
<
0上单调递减，在0
<
X
<
1上单调递增，所以当X
=
0时，Y
min
=
B
=
-11
；
原函数在X
=
-2或者X
=
1处取到最大值：
当X
=
-2时，Y
=
A(-2)
3
–
2A(-2)
2
+
B
=
-8A
–
8A
+
B
=
B
–
16A
=
-11
–
16A
；
当X
=
1时，Y
=
A*1
3
–
2A*1
2
+
B
=
A
–
2A
+
B
=
B
–
A
=
-11
–
A
；
而A
<
0，因此16A
<
A，进而
-16A
>
-A，可知-11
–
16A
>
-11
–
A，因此当X
=
-2时，Y
min
=
-11
–
16A
=
5，移项可得
-16
=
16A，所以A
=
-1，代入可得Y
=
-X
3
+
2X
2
–
11
；
综上所述，原函数的解析式为
Y
=
X
3
–
2X
2
+
5
，或者
Y
=
-X
3
+
2X
2
–
11
。

热心网友时间：2024-10-17 13:31