...将微分方程cos^4x(d^2y/dx^2)+2cos^2x(1-sinxco

发布网友发布时间：2024-10-02 04:01

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热心网友时间：2024-10-11 20:34

t=tanx, (cosx)^2=1/(1+t^2)

x=arctant

dx/dt=1/(1+t^2)

dy/dx=(dy/dt)/(dx/dt)=(1+t^2)y', 这里y'是对t的导数

d^2y/dx^2=d(dy/dx)/dx=d[(1+t^2)y']/dx=d[(1+t^2)y']/dt /(dx/dt)=[2ty'+(1+t^2)y"](1+t^2)

正弦函数的导数

假设正弦函数y=sin x（x的单位为弧度）上有一点(x,y)和另一点(x+δx,y+δy)：

d/dx(sin x)

=limδx→0 δy/δx

=limδx→0 [sin (x+δx)-sin x]/δx

=limδx→0 2[cos 0.5(2x+δx)][sin 0.5(δx)]/δx （sin A-sin B=2[cos 0.5(A+B)][sin 0.5(A-B)]）

=limδx→0 [cos 0.5(2x+δx)][sin 0.5(δx)]/0.5δx （两边除以2）

=limδx→0 [cos 0.5(2x+δx)]×[sin 0.5(δx)]/0.5δx

热心网友时间：2024-10-11 20:33

t=tanx, (cosx)^2=1/(1+t^2)
x=arctant
dx/dt=1/(1+t^2)
dy/dx=(dy/dt)/(dx/dt)=(1+t^2)y', 这里y'是对t的导数
d^2y/dx^2=d(dy/dx)/dx=d[(1+t^2)y']/dx=d[(1+t^2)y']/dt /(dx/dt)=[2ty'+(1+t^2)y"](1+t^2)
代入原方程得：
[2ty'+(1+t^2)y"]/(1+t^2)+2/(1+t^2)*(1- t/(1+t^2))*(1+t^2)y'+y=t
化简得：y"+2y'+y=t
特征根为二重根-1, 通项为y=(c1t+c2)e^(-t)
设特解为y*=at+b, 代入得：2a+at+b=t,得：a=1, b=-2
因此有y=(c1t+c2)e^(-t)+t-2
所以原方程的解为y(x)=(c1 tanx+c2)e^(-tanx)+tanx-2