若非零函数f(x)对任意实数a.b均有f(a+b)=f(a)•f(b),且当x<0时、f...

发布网友 发布时间：2024-10-02 08:19

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热心网友 时间：2024-10-09 01:44

（1）令a=0，则 f(0+b)=f(0)•f(b) 即 f(b)=f(0)•f(b)，因为f(x)为非零函数，f(b)≠0，
所以f(0)=1＞0 ；
设 x＜0，则f(x)＞1＞0，且 -x＞0,
1=f(0)=f(x+(-x))=f(x)•f(-x),
所以 f(-x)=1/f(x)＞0
综上，对 x∈R,总有 f(x)>0

（2）设a＜b,则a-b＜0, f(a-b)＞1,又由（1）知，f(b)＞0，
所以f(a)-f(b)=f((a-b)+b)-f(b)=f(a-b)·f(b)-f(b)=f(b)[f(a-b)-1]＞0
所以f(x)为R上的减函数.

（3）f(4)=f(2+2)=f(2)·f(2)=1／16,因为f(x)>0，故f(2)=1/4
f(x-3)•f(6-2x)≤1/4等价于

f[(x-3)+(6-2x)]≤f(2)
由（2）知，f(x)为R上的减函数，故
(x-3)+(6-2x)≥2
解得 x≤1

热心网友 时间：2024-10-09 01:43

由题意得
（1）f(0+a)=f(0)×f(a)，即f(a)=f(0)×f(a)，所以f(0)=1
当a,b互为相反数时，有f(a+b)=f(0)=f(a)×f(b)，即f(a)×f(b)=1，所以f(x)×f(-x)=1
又x<0时，f(x)>1,所以，x<0时，0<f(x)<1
综上，结论得证。
（2）当x1>0,x2>0时，x1+x2>x1,x1+x2>x2，f(x1+x2)-f(x1)=f(x1)f(x2)-f(x1)=f(x1)(f(x2)-1)
又0<f(x2)<1,所以，f(x1+x2)-f(x1)<0
所以，f(x)在（0，+∞）上单调递减。
当x3<0,x4<0时，x3+x4<x3，f(x3)-f(x3+x4)=f(x3)-f(x3)×f(x4)=f(x3)(1-f(x4))
又f(x4)>1,所以f(x3)-f(x3+x4)<0
所以，f(x)在（-∞，0）上单调递减。
综上，题中结论得证。
（3）由x^2=x－3得，f(x^2=x－3）×f(5－x^2)=f(x^2+(5－x^2))=f(5)
f(4)=f(2)×f(2)=1/16，而f(x)>0，所以f(2)=1/4
f(x)是减函数，所以f(5)<=f(2),题中结论得证。