(高中数学)极值点偏移5种处理方式
发布网友
发布时间：2024-10-02 06:01
共1个回答
热心网友
时间：2024-11-26 06:33
[公式] 求证：2＜x1+x2＜e
[公式] ,极值点为1，容易确定出 [公式]
Ⅰ.构造对称函数（单调性）
左侧：[公式]
[公式]
[公式]
由于[公式]
[公式] 于是原不等式得证
右侧[公式]
[公式]
[公式]
[公式] 在x= [公式] 时取等
[公式]
[公式]
[公式] 证毕
Ⅱ.二次拟合
要证x1+x2＞2，可以考虑构造一个二次函数满足x3+x4=2，然后证明x1大于x3，x2＞x4
首先待定二次函数[公式]
由端点处函数值相等[公式] 可以确定出b=1
再由端点处凹凸性相同[公式] 可以确定出 [公式]
于是[公式]
[公式]
[公式]
[公式]
[公式]
[公式]
证明x1+x2＜e如法炮制一个关于e/2对称的二次函数即可
[公式]
由于顶点不再重合，可以采取两点函数值相等确定参数
[公式]
[公式]
[公式]
[公式]
[公式]
[公式]
[公式]
[公式]
Ⅲ.比值代换
[公式]
由f(x1)=f(x2)可得[公式]
[公式] ,整理得
[公式]
[公式]
[公式]
直接处理这个式子还是比较麻烦的，这里采取放缩处理
左侧：由[公式]
[公式]
容易证明g（t）单调递减，于是[公式]
右侧：由[公式]
[公式]
容易证明h(t)单调递减，于是[公式]
Ⅳ.切割线放缩
试了一下切割线精度不够证两边，只能证一边，但相较上面的通法计算量很小
容易证明(0,1)时f(x)＞x
(1,e)时f（x）＜-（x-e）
即x1＜x3，x2＜x4
又有[公式]
[公式]
Ⅴ.对数不等式
常见的不等式也只能够证明一边，不够理论上构造一个在x=1处变号的不等式再调整一下系数应该能达到证明的精度，不至于像切割线放得那么大
由[公式]
[公式]
又x1∈（0，1），x2＞1
[公式]
[公式]
[公式]
