已知函数 f(x)=(a+1)lnx+ax2+1
发布网友
发布时间:2024-10-01 21:34
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热心网友
时间:2024-10-24 18:51
分析:求导之后主要就是判断极值符号,我们看f'(x)是个分式,分母为x,注意定义域为(0,+∞),说明分母恒大于0,那么只需判断分子符号就行了,为方便起见我这里设g(x)=2ax^2+a+1,下面具体分析:
(1)a=0,g(x)=1>0
(2)a≠0时,g(x)=2a【x^2+(a+1)/(2a)】,现在只需考虑中括号里符号就行了,亦即考虑(a+1)/(2a)是正是负,这里我们可以在草稿纸上算下,若为正数,x^2+(a+1)/(2a)必为正数,a≠0无外乎a>0与a<0两种,这样g(x)=2a【x^2+(a+1)/(2a)】符号也能确定,那么f'(x)符号也就确定了。反之,若(a+1)/(2a)是负数,则x^2+(a+1)/(2a)可以看成是一个平方差公式,后面计算就简单了。
综合下:所以说,为什么考虑-1这个点,就是(a+1)/(2a)的正负决定的,光考虑a>0,a<0不满足充要性,具体情况具体分析,如果只有2次项是关于a的二次函数,你可以只考虑a的正负,但后面一次项、常数项也与a有关,那就得具体分析了。
PS:OVER。。。
热心网友
时间:2024-10-24 18:51
解答:
a≥0, a<0不够确切
因为 f'(x)=(2ax²+a+1)/x
解不等式时,a<0时,需要考虑a+1的正负,
如果a+1<0, 则分子恒负
如果a+1>0,则分子的正负不定。
热心网友
时间:2024-10-24 18:52
注意到如果函数f(x)=lnx+x2+1,那么它就是一个递增函数,所以其实f(x)的单调区间是受系数(a+1)和a影响的,二者均可>0,=0或<0,综合起来就是题目里的情况。
热心网友
时间:2024-10-24 18:52
这里是因为,第一步里的 f‘(x)=2ax+ (a+1)/x分解一下, 当a在-1以下的时候 前面一项小于0, 同时后面一项也小于0,于是可以有f’(x)小于0。
然后在考虑(-1,0)之间的情况,若是只用0来分类讨论a 那么a<0时是没有办法得到f(x)的导数是恒小于0的。
望采纳哦~~^-^
热心网友
时间:2024-10-24 18:53
a=0和a=-1这两个特殊点是从 f(x)中找出来的。
a=0时ax^2=0,f(x)=(a+1)lnx+1,有可能为负数;
a=-1时(a+1)lnx=0,f(x)=ax^2+1,必定为非负数。