sinx/ x积分0到正无穷是π/2吗?
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发布时间：2024-10-01 21:31
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时间：2024-12-12 20:48
sinx/x积分0到正无穷是π/2。
解：因为对sinx泰勒展开，再除以x有，
sinx/x=1-x^2/3!+x^4/5!+…+(-1)^(m-1)x^(2m-2)/(2m-1)!+o(1)。
那么∫sinx/xdx=[x/1-x^3/3·3!+x^5/5·5!+…+(-1)^(m-1)x^(2m-1)/(2m-1)(2m-1)!+o(1)]。
则∫(0，∞)∫sinx/xdx=[x/1-x^3/3·3!+x^5/5·5!+…+(-1)^(m-1)x^(2m-1)/(2m-1)(2m-1)!+o(1)]（0，∞）=π/2。
即∫(0，∞)∫sinx/xdx=π/2。
换元积分法
（1）第一类换元法（即凑微分法）
通过凑微分，最后依托于某个积分公式。进而求得原不定积分。
例：∫cos3xdx=1/3∫cos3xd(3x)=1/3sin3x+C 直接利用积分公式求出不定积分。
（2）三角换元法
通过三角函数之间的相互关系，进行三角换元，把元积分转换为三角函数的积分。
三角函数转换关系
1=(sinA)^2+(cosA)^2、(secA)^2=1+(tanA)^2
常见积分公式
∫mdx=mx+C、∫1/xdx=ln|x|+C、∫sinxdx=-cosx+C、∫e^xdx=e^x+C
