已知函数f(x)=x+alnx(Ⅰ)当a=1时,求曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线...
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发布时间：2024-10-02 01:23
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时间：2024-10-25 22:02
∴f（1）=1，f'（1）=2，
∴曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为2x-y-1=0；
（II）函数f（x）=x+alnx，f′(x)＝x+ax(x＞0)．
当a≥0时，在x∈（0，+∞）时f'（x）＞0，∴f（x）的单调增区间是（0，+∞）；
当a＜0时，函数f（x）与f'（x）在定义域上的情况如下：
∴f（x）的单调减区间为（0，-a），单调增区间为（-a，+∞）．
∴当a≥0时f（x）的单调增区间是（0，+∞）；
当a＜0时，f（x）的单调减区间为（0，-a），单调增区间为（-a，+∞）．
（III）由（II）可知，
①当a＞0时，（0，+∞）是函数f（x）的单调增区间，
且有f(e?1a)＝e?1a?1＜1?1＝0，f（1）=1＞0，
此时函数有零点，不符合题意；
②当a=0时，函数f（x）=x，在定义域（0，+∞）上没零点；
③当a＜0时，f（-a）是函数f（x）的极小值，也是函数f（x）的最小值，
∴当f（-a）=a（ln（-a）-1）＞0，即a＞-e时，函数f（x）没有零点．
综上所述，当-e＜a≤0时，f（x）没有零点．
