有限元分析:非线性分析求解算法——牛顿迭代法

发布网友发布时间：2024-10-02 01:23

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热心网友时间：2024-12-12 23:09

结构有限元分析中，弹塑性材料、结构大变形大转动以及接触问题等非线性问题需要使用非线性工况进行求解。Abaqus、OptiStruct及Ansys Mechanical等有限元求解器多采用牛顿迭代法来解决这类问题。很多非线性培训资料以图像形式讲解牛顿迭代法，但初次接触时，往往仅知其逐步*近准确解的直观结果，而对其内在机制知之甚少。

牛顿迭代法有三种变形：常规牛顿迭代法、修正的牛顿迭代法以及牛顿下山法。有限元求解器通常会根据实际情况自动选择最合适的迭代方法，但具体选择过程并未在帮助文档中详细说明。

常规牛顿迭代法在不存在加速度和阻尼的情况下，简化为求解平衡方程。通常需要计算刚度矩阵的逆矩阵以求解位移矩阵。迭代过程以曲线L(u)表示，曲线在每次迭代中逐步*近准确解。假设分析步总载荷为100N，非线性算法会将其分多次加载，如分5次加载，每次增加20N。每次加载过程中，需多次迭代以达到平衡状态，使用的算法即为牛顿迭代法。

在第n个迭代步时，加载大小为f的力，迭代过程按顺序进行：A、B、C、D、E。牛顿迭代法从数学上是一种数值计算方法，其基本原理可以通过泰勒级数展开来解释。设已知方程有近似根，通过展开函数并将方程近似表示，可以推导出迭代公式。通常情况下，经过几次迭代后，能够得到一个精度较高的解。

常规牛顿迭代法的优点在于其收敛速度较快。相比之下，修正的牛顿迭代法则减少了计算量，它利用初始刚度矩阵而不求解其逆矩阵。牛顿下山法则通过引入判断条件，确保了迭代过程的收敛性，即使初始值与准确值相距较远，也能保证结果的收敛。下山因子的选择策略从初始值开始，逐次减半进行试算，直至满足下降条件。

综上所述，牛顿迭代法及其变形在有限元分析中具有广泛应用。通过合理选择迭代方法，可以提高求解效率和结果的准确性。更多有限元相关硬核分享请关注@熊库辛，码字不易，点个赞吧。