证明 当X>0是 有不等式 1/1+x<In[(1+x)/x]<1/x

在[x,x+1]上用拉格朗日中值定理得 ln(1+x)-lnx=(1+x-x)(1/ε)=1/ε 其中 x<ε<x+1 所以1/(x+1)<1/ε<1/x 于是1/(x+1)<ln(1+x)-lnx<1/x原命题得证 解2：构造函数用单调性证明x/(1+x)<ln(1+x)<x成立 然后令x=1/x就得到要证的不等式。过程略，就是简单的构...

简单分析一下，答案如图所示

证明过程如下图:

证明：∵x＞0 ∴函数f（u）=lnu在 1）闭区间[x，x+1]连续 2）开区间（x，x+1）可导 从而，由微分中值定理知：在开区间（x，x+1）内至少存在一点c使得 f′（c）=[f（x+1）-f(x)]/[(x+1)-x]，其中，x＜c＜x+1 ∵f′(u)=1/u∴f′(c)=1/c 又∵x＜c＜x+1 ∴1/(...

当x＞0时，要证1-x＜x[ 1/x]≤1 ，两边同除x。即(1/x)-11/x，所以：(1/x)-1(1/x)-1。所以两个不等式得证。如果a、b都是正数，那么（a+b）/2 ≥√ab ，当且仅当a=b时等号成立。（这个不等式也可理解为两个正数的算数平均数大于或等于它们的几何平均数，当且仅当a=b时等号...

所以后半个不等式[ 1/x]≤1/x，显然成立；所以不等式①成立，即当x＞0时，1-x＜x[ 1/x]≤1得证；（2）当x＜0时，要证1≤x[ 1/x]<1-x，两边同除x；即：1/x≧[ 1/x]>(1/x)-1；同理（1），很容易证得1/x≧[ 1/x]>(1/x)-1；所以两个不等式得证。常用定理 ①不...

【答案】：设f(x)=ln(1+x)则f'(x)=1/(1+x)在[0,x]上应用拉格朗日中值定理 存在ξ∈(0,x)使得 ln(1+x)-ln(1+0)=f'(ξ)(x-0)即 ln(1+x)=f'(ξ)·x 由于0＜ξ＜x 所以1/(1+x)＜f'(ξ)＜1/x

即(1/x)-1<[ 1/x]≤1/x，① 因为y=[x]是取整函数，就是取x的整数部分，如[2.3]=2；所以后半个不等式[ 1/x]≤1/x，显然成立；而前半个不等式，可这样证：[ 1/x]+1显然>1/x，所以：(1/x)-1<[ 1/x]所以不等式①成立，即当x＞0时，1-x＜x[ 1/x]≤1得证；（2）当...

方法二、中值定理证明 记f(x)=lnx,x>0,显f(x)在[x,x+1]上满足拉格朗日中值定理条件 则存在ξ∈(x,x+1)使得 ln[(x+1)/x]=ln(x+1)-lnx=f(x+1)-f(x)=f'(ξ)[(x+1)-x]=1/ξ 又1/(x+1)<1/ξ<1/x,其中ξ∈(x,x+1)则有1/(x+1)<ln[(x+1)/x]<1/x 显然...

去数列yn满足1/yn=2nπ x-->，当y=0，所以y是震荡的，不是无穷大量。数列的函数理解：①数列是一种特殊的函数。其特殊性主要表现在其定义域和值域上。数列可以看作一个定义域为正整数集N*或其有限子集{1，2，3，…，n}的函数，其中的{1，2，3，…，n}不能省略。②用函数的观点认识数列...