谁能提供微分中值定理中构造辅助函数的具体步骤?
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发布时间：2022-05-07 07:58
共2个回答
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时间：2023-08-04 08:09
微分中值定理:
如果函数f(x)在（a，b）上可导，[a,b]上连续，则必有一t∈[a,b]使得f'(t)*(b-a)=f(b)-f(a)
证明：
1.若f(x)为常函数，显然成立。
2.若f(x)不为常函数。
(一)若f(a)＝f(b),则至少存在一个t使f(t)为极值，此时f'(t)=0=(f(b)-f(a))/(b-a)
(二)若f(a)≠f(b)，构造辅助函数g(x)=f(x)-((f(b)-f(a))/(b-a))*x
易知g(a)=(bf(a)-af(b))/(b-a)=g(b)
由（一）中证明得：存在一个t使g(t)为极值，此时g'(t)=0=(g(b)-g(a))/(b-a)
而g'(x)=f'(x)-(f(b)-f(a))/(b-a)
所以存在t使f'(t)=(f(b)-f(a))/(b-a)
构造的辅助函数g(x)=f(x)-((f(b)-f(a))/(b-a))*x，
可看成是f'(t)-(f(b)-f(a))/(b-a)的原函数
再利用原先的结论铺垫，即可
(参考资料，是我对微分中值定理证明的另一回答)
参考资料：http://zhidao.baidu.com/question/154760360.html
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时间：2023-08-04 08:09
