如何证明薛定谔方程关于伽利略变换是协变的

发布网友发布时间：2024-10-06 19:45

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热心网友时间：2024-10-27 05:45

在量子力学中，伽利略变换需与经典力学相协调，特别是在速度远小于光速的非相对论情境下。类比于声波，我们可能期望薛定谔方程展现出相应的变换特性，如[公式]所示。然而，当考察一个本征态[公式]时，[公式]的推导下，能量在速度v的正方向运动的坐标系下会发生变化，变为[公式]，这与实际观测不符。

希尔伯特空间在坐标变换中的映射是一个关键问题。原坐标系和新坐标系的希尔伯特空间分别为[公式]和[公式]，通常用[公式]表示，其中[公式]自然同构。尽管[公式]满足伽利略变换的要求，但[公式]或其他类似形式同样适用。因此，伽利略变换在[公式]的*下表现为[公式]，特别地，[公式]。

验证薛定谔方程的协变性在于哈密顿量的处理。在原坐标系中，哈密顿量为[公式]，不依赖于坐标系，但在新坐标系中由于势场的位移，哈密顿量变为[公式]。协变性要求[公式]，即薛定谔方程在坐标变换后仍然成立。

通过[公式]，我们可以通过一个简单的例子来说明。设[公式]，计算后我们得到[公式]，这正是我们期望的协变性体现。