在锐角三角形abc中,角A等于两倍的角B,求证b除以b加c的取值范围
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发布时间：2024-10-07 01:46
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时间：2024-10-22 20:48
根据正弦定理(b+c)/b=(sinB+sinC)/sinB=1+sinC/sinB
sinB=2cosA*sinA，
cosB=1-2*（sinA）^2=2 *（cosA）^2 -1＞0 1
sinC=sin(A+B)=sinA*cosB+sinB*cosA=sinA-2*（sinA）^3+2(cosA)^2*sinA
cosC=sinA*sinB-cosA*cosB=2*cosA（1-（cosA）^2）-cosA*(2 *（cosA）^2 -1)＞0 2
sinC/sinB=cosA+1/(2*cosA)-(1-(cosA)^2)/cosA=2*cosA+1/(2*cosA)-1 3
令cosA=t，则t在（0，1）之间
代入1，2，3式中得到
2*t^2-1＞0
3*t-4*t^2＜0
3/4＜t＜1
1+sinC/sinB=2*t+1/（2*t）=m
如果学过求导，直接求导可知m在（1/2，1）上递增
没学过求导，假定t1＞t2
m1-m2=（t1-t2）*（2-1/(2*t1*t2)）
当t1，t2在（3/4，1）时m1-m2＞0
故m属于递增函数
m＞3/2+2/3=13/6
m＜2+1/2=5/2
(b+c)/b=1/m
(b+c)/b的取值范围是（2/5，6/13）
