以测度为基础的高等概率论和普通的概率论到底有什么区别?

发布网友发布时间：2024-10-06 04:47

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热心网友时间：2024-12-12 04:24

深入探讨高等概率论与普通概率论的区别，需首先明确，对于非理论研究，普通概率论已足够日常应用。然而，学习测度论，能够赋予概率论这门“语言”更深层次的含义。

以应用随机过程为例，对于本科生，概率论课程中并未涵盖测度论。此时，教授课程时需尽量简化测度论的内容，以确保课程内容易于理解，但仍会不时遇到必须使用测度语言的场景。

在介绍鞅（martingale）概念时，定义涉及滤链（filtration）这一概念。滤链定义了一组单调递增的sigma-代数，而sigma代数则是概率论中的基础概念，用于描述信息集的增减过程。理解sigma代数，有助于深入理解滤链的定义。

情景一中，通过简单的例子可以理解滤链为一个单调递增的信息集。然而，为了更严谨地学习概率论，深入理解测度论不可或缺。

鞅的定义之所以引入滤链，一方面是因为条件期望的概念需要使用，另一方面，滤链的概念有助于抽象地表达信息集，使应用中的情况更加清晰。

因此，即使普通概率论课程中不深入讲授测度论，对于实际应用而言，了解其基本概念仍然非常必要。否则，虽然能够理解并简单应用，但对更高级概念的理解和应用能力将受到*。

情景二中，随机过程课程面向金融工程专业学生，最终将关注随机微分方程和等价鞅测度。这里，测度论概念再次成为理解关键。虽然在介绍测度等价时，可以避免直接提及测度，但Radon-Nikodym导数的引入不可避免。

简而言之，测度等价概念的解释依赖于对测度论基础的理解。Girsanov定理在应用中虽不直接重要，但其背后涉及的等价鞅测度概念对理解随机过程中的动态变化至关重要。

综上所述，无论是否从事理论研究，了解以测度为基础的概率论概念，对于深入理解和应用概率论原理至关重要。这不仅有助于解决实际问题，也有助于更好地把握概率论的理论框架。