设函数f(x)可导,且满足f(0)=0,又f'(x)单调减少.证明对x∈(0,1),有...

发布网友发布时间：2024-10-05 22:15

共2个回答

热心网友时间：2024-10-05 22:54

因为x∈(0,1)则x>0 所以只需验证f(1)<f(x)/x
令g(x)=f(x)/x 则g`(x)=f`(x)x-f(x)/x^2
对[0,x]用朗格朗日定理有f(x)-f(0)=f`(ξ)x 其中0<ξ<x 由于f(0)=0,f`(x)单调减少则f`(ξ)>f`(x)
所以f(x)-f(0)=0>f`(x)x 即g`(x)<0 g(x)单调减少所以g(x)>g(1)=f(1)

热心网友时间：2024-10-05 22:48

因为 f''(x)>0
所以 f'(x)为增函数
又有f(0)=0 则f'(x)在（0,1]内单调递增且f‘（x）>0
所以命题得证

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