在三角形ABC中,向量CA乘向量CB等于c^2-(a-b)^2,a+b=4 (1)求cosC (2)

发布网友发布时间：2024-10-06 13:31

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热心网友时间：2024-11-21 20:05

（1）
向量CA乘向量CB＝|CA||CB|cosC=abcosC
cosC＝(a²+b²-c²)/2ab
所以，向量CA乘向量CB＝(a²+b²-c²)/2
又，向量CA乘向量CB等于c²-(a-b)²
所以，a²+b²-c²=2c²-2(a-b)²
即，3c²＝3a²+3b²-4ab
即，(a²+b²-c²)＝4ab/3
所以，
cosC＝(a²+b²-c²)/2ab＝2/3

(2)
由上可得sinC＝(√5)/3
S△ABC＝1/2×ab×sinC＝(√5)/6×ab
a＋b＝4
所以，2√ab≤a+b=4
即，ab≤4（a＝b＝2时等号成立），S△ABC≤(2√5)/3
所以，a＝b＝2时
三角形面积的最大值为(2√5)/3

热心网友时间：2024-11-21 20:05

向量CA·向量CB=b*a*cosC=c²-(a-b)²
而由余弦定理有：c²=a²+b²-2ab*cosC
那么：a²+b²-2ab*cosC-(a-b)²=ab*cosC
即：2ab=3ab*cosC
解得：cosC=2/3
所以：c²=a²+b²-(4/3)*ab
即：c²=(a+b)²-(10/3)*ab
已知a+b=4，那么：c²=16- (10/3)*ab
由均值定理有：a+b≥2√(ab)
即：√(ab)≤2
所以：0<ab≤4 （当且仅当a=b时取等号）
所以：-40/3≤- (10/3)*ab<0
那么：8/3≤16- (10/3)*ab<16
即：8/3≤c²<16
所以：2(√6)/3≤c<4
即当a=b=2时，c有最小值2(√6)/3
所以此时三角形周长最小值为：a+b+c=4+ 2(√6)/3

我正好在做这题，不过自己做出来了，但上面东西是复制下来的。

热心网友时间：2024-11-21 20:04

热心网友时间：2024-11-21 20:06