数学题,求y=x²,x=1和x轴在第一象限内围成的曲边三角形周长。

发布网友发布时间：2024-10-06 16:40

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热心网友时间：2024-11-29 09:07

y=x²,y'=2x,积分区间为[0,1].显然两条直角边长度都是1,所以要求的是在0到1这个区间内y=x²的弧长.
利用弧微分公式,ds=√(1+y'²)dx=√(1+4x²)dx,设弧长为L,则
L=∫[0,1]ds=∫[0,1]√(1+4x²)dx
令2x=t,则dx=dt/2,当x从0变化到1时,t从0变化到2

∴L=∫[0,2]√(1+t²)dt/2=1/2*∫[0,2]√(1+t²)dt
直接查表,∫√(1+t²)dt=t/2*√(1+t²)+1/2*ln[t+√(1+t²)]+C
把0和2分别代进去,利用牛顿莱布尼茨公式算得L=√5/2+1/4*ln(2+√5)
∴周长为√5/2+1/4*ln(2+√5)+2

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