随机有限元法发展历程

发布网友发布时间：2024-10-06 03:04

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热心网友时间：2024-10-25 20:01

在20世纪70年代初，Cambou首次采用一次二阶矩方法研究线弹性问题，开创了随机有限元法的先河。此方法通过Taylor级数展开随机变量影响量，因此被称为Taylor展开法随机有限元（TSFEM）。Shinozuka和Astill分别独立地运用摄动技术研究了随机系统特征值问题，进一步推动了该领域的发展。在考虑随机变量波动性时，Handa等人采用一阶和二阶摄动技术，并将这种摄动法随机有限元成功应用于框架结构分析。Vanmarcke等人提出了随机场的局部平均理论，并将其引入随机有限元领域。局部平均理论通过在每个离散单元上的随机变量局部平均来近似统计量，简化了计算工作。Liu W. K.等人提供了一种“主模态”技术，通过随机变量的特征正交化方法，将满秩的协方差矩阵变换为对角矩阵，从而减少计算工作量，对摄动随机有限元法的发展做出了重要贡献。同时，他们提出一个随机变分原理，进一步优化了方法。

Yamazaki和Shinozuka创造性地将算子的Neumann级数展开式引入随机有限元的列式工作，这为摄动解的正则性和收敛性提供了关键保证。Neumann级数展开方法是一类正则的小参数摄动方法，正定的随机刚度矩阵和微小的随机扰动量是其基本要求。这两个基本要求确保了摄动解的正则性和收敛性，其优点在于摄动形式相对简单，并能获得近似解的高阶统计量。Shinozuka等人将随机场函数的Monte-Carlo模拟与随机刚度矩阵的Neumann级数展开式结合，得到了具有较好指的近似解。这表明以随机变分原理为基础的随机有限元法逐渐取代了以摄动法为基础的随机有限元法。

Spanos和Ghanem等人结合随机场函数的Karhuen-Loeve展式和Galerkin（迦辽金）射影方法建立了相应的随机有限元列式，并撰写了随机有限元法领域的第一本专著《随机有限元谱方法》。这标志着随机有限元法在理论和实践上的成熟，成为解决随机结构问题的强大工具。通过这些研究，随机有限元法在各个领域得到了广泛应用，为结构工程、材料科学、海洋工程等提供了强大的理论支持和计算手段。