最小费用最大流问题算法举例

发布网友发布时间：2024-10-06 02:18

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热心网友时间：2024-10-06 06:47

最小费用最大流问题算法举例中，Augment Path方法是通过不断搜索从源点到汇点的增广路，将该路径上的容量减去最小值，并在反向路径上增加或扩大容量，以实现从源点到汇点的最大流量。此算法确保每次操作都能增加网络中的流，从而避免陷入死循环。增广路方法可以解决最大流问题，但在极端情况下每次只能将流扩大1，因此需要预推进算法以提高效率。

预推进算法（Push-Relabel）是一个求解最大流的算法，其核心操作包括压入和重标记。压入操作将边的始点预流尽可能多的压向终点，重标记操作将顶点的高度设为所有邻接点的高度的最小值加一。预推进算法普遍比Ford-Fulkerson算法更快，但其编码相对复杂。另一种基于链表的预推进算法称为Relabel-to-Front，它维护一个溢出顶点的链表，并通过Discharge操作不断使顶点不再溢出，直至所有顶点的高度增加。

Relabel-to-Front算法的时间复杂度为O(V^3)，而另一个称为Highest Label Preflow Push（HLPP）的算法复杂度据说是O(V^2*E^0.5）。HLPP与Relabel-to-Front本质上没有区别，因为后者每次前移的都是高度最高的顶点，相当于每次选择最高的标号进行更新。还有一种方法是使用队列维护溢出顶点，每次对队列头部的顶点进行Discharge操作，出现新的溢出顶点时将其入队。

预推进类算法的优化之一是Gap Heuristic，该优化在存在整数k（0<k<V）时，对所有满足h[v]=k的顶点进行更新，若更新后的值小于V+1则置为V+1，以提高算法性能。

C++程序示例中，定义了节点结构体node，包括顶点k、流量f、容量c和指针next、g等属性，以及插入边的方法insert。算法主要步骤包括构建邻接表，使用广度优先搜索（BFS）确定源点出发的所有边充满，然后通过链表维护溢出顶点，并对这些顶点进行Discharge操作，直至所有顶点的高度增加。

扩展资料

最小费用最大流问题是经济学和管理学中的一类典型问题。在一个网络中每段路径都有“容量”和“费用”两个限制的条件下，此类问题的研究试图寻找出：流量从A到B，如何选择路径、分配经过路径的流量，可以达到所用的费用最小的要求。如n辆卡车要运送物品，从A地到B地。由于每条路段都有不同的路费要缴纳，每条路能容纳的车的数量有限制，最小费用最大流问题指如何分配卡车的出发路径可以达到费用最低，物品又能全部送到。