为什么要使用无迹卡尔曼滤波和扩展卡尔曼滤波,他们与卡尔
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发布时间：2024-10-07 00:29
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时间：2024-12-01 09:33
首先，让我们明确一点，所谓线性系统，可以简单理解为，如果两个变量的关系满足某种线性关系，那么这个关系就构成了线性系统的基础。以函数$f(x) = ax + b$为例，它是一条直线，这就是线性的体现。然而，现实中，非线性系统更常见，比如$f(x) = x^2$，它就无法用直线描述，因此无法直接应用卡尔曼滤波。
面对非线性的挑战，我们不能就此放弃，而是在卡尔曼滤波的基础上进行了改进，产生了扩展卡尔曼滤波（Extended Kalman Filter, EKF）。EKF的核心思路，就是将非线性系统通过泰勒级数展开等手段，转化为可以近似视为线性的问题，再利用卡尔曼滤波的理论进行处理。
理解了这一原理后，我们再来看看数学推导。对于控制系统，非线性方程的处理方法与上述思路相似，通过泰勒级数展开将非线性系统线性化。在这一过程中，我们以一元函数的泰勒展开为基础，进而扩展到矩阵的形式，实现对非线性方程的近似线性化。
具体而言，我们需要对控制系统方程进行泰勒展开，这涉及到一阶导数的计算，最终将非线性方程转换为线性方程的形式。在这一转换过程中，矩阵的偏导数成为关键，它们反映了非线性系统的局部线性化特性。通过这些矩阵的计算，我们能够对非线性系统的状态进行预测和更新。
尽管扩展卡尔曼滤波在形式上看似复杂，但其本质仍然是对非线性系统进行近似线性化处理，继而应用卡尔曼滤波的理论。这一改进并非增加新的算法特性，而是对原有卡尔曼滤波理论的拓展，使其能够适应更广泛的系统。
所以，当你面对非线性系统的挑战时，无需感到畏惧。无迹卡尔曼滤波、扩展卡尔曼滤波等算法，正是为了解决这类问题而生。它们通过巧妙地将非线性转化为线性，让我们能够继续应用熟悉的卡尔曼滤波理论。记住，这些“披着狼皮的羊”其实是算法世界中的重要工具，帮助我们更好地理解和处理现实世界中的复杂系统。
