线性代数(三)行列式的来历
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发布时间：2024-10-08 10:18
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时间：2024-11-18 19:42
本文探讨行列式的历史演变，涉及以下问题：
1 定义行列式的目的
历史上，行列式的定义旨在解线性方程组。以下方程组：
从几何上看，两个方程代表直线，解为它们的交点：
通过高斯消元法，可得到唯一解：
一般地，对于二元一次线性方程组：
如果它有唯一解，则通过高斯消元法容易得到：
对于三元一次线性方程组：
如果它有唯一解，同样可以通过高斯消元法得到：
多元一次线性方程组的解将更加复杂。简化多元一次线性方程组的解，找出其中的规律，在此过程中产生了行列式。
2 定义行列式的思路
大家可能习惯了这样的数学：
或者矩阵乘法的定义（可参考“行列式的来历与克拉默法则”）：
以上数学的剧情都是直线发展的。但行列式的定义思路较为曲折：
有点像经常说的，大胆假设、小心求证。下面我们来看看这一过程。
3 低阶行列式
3.1 二阶行列式
3.1.1 定义
二阶行列式定义为交叉相乘后相减：
3.1.2 验证
再看看刚才的二元一次方程组的解：
它的解的分母都是：
套用刚才定义的二阶行列式的规则和规则可以得到：
分子可以分别表示为：
则线性方程的解表示为：
经过验证，这样定义二阶行列式是合理的，可以达到我们预设的解线性方程组的目的。
3.2 三阶行列式
3.2.1 定义
比较复杂，可以靠对角线法则进行记忆：
3.2.2 验证
有了三阶行列式的定义，则三元方程组的解可以通过三阶行列式来表示：
经过验证，这样定义三阶行列式也是合理的。
4 行列式的定义
如何定义n阶行列式？
具体的过程肯定是，数学家们（应该是凯莱、范德蒙这些先驱）废了无数草稿纸，反复验算各阶线性方程组，从中总结出来的。
为了介绍行列式的定义，先引入两个概念。
4.1 全排列
有如下三个数字：
总共有以下6种不重复的排列方式：
这就是全排列。
把n个不同的元素排成一列，叫做这n个元素的全排列（简称排列）。
再举个例子，如下四个数字：
总共有以下24种不重复的排列方式，可以自行验算。
4.2 逆序数
比如有这么一个数列：
规定：
比如：
上图中可以看出，没有一个逆序的，因为5是第三个数字，所以用下列的负号来表示没有逆序：
再比如：
数列内所有的逆序数为：
逆序数定义为：
在一个排列中，如果一对数的前后位置与大小顺序相反，即前面的数大于后面的数，那么它们就称为一个逆序。一个排列中逆序的总数就称为这个排列的逆序数。
再比如数列：
数列的逆序数为4，可以自行验证。
4.3 通过全排列和逆序数定义三阶行列式
有了全排列和逆序数，就可以来定义行列式了。
以三阶行列式为例：
来观察每一项的脚标，脚标第一项都是按照“[公式]”排列的：
而脚标的第二项是“[公式]”的全排列：
正负号怎么来的呢？是由逆序数决定的：
整个过程为：
三阶行列式可以定义为：
其中，[公式]为排列[公式]的逆序数，[公式]表示对“[公式]”的所有排列“[公式]”求和。
这种定义方式和之前的对角线定义方式得到的结果是一样的，但是可以推广到n阶。
4.4 定义
定义n阶行列式为：[公式]，其值为：[公式]，其中，[公式]为排列[公式]的逆序数，[公式]表示对“[公式]”的所有排列“[公式]”求和。
5 克拉默法则
那么上面的n阶行列式的定义是否合适？我们用克拉默法则来验收。
加百列·克莱姆（1704 - 1752），瑞士数学家，发现了可以通过行列式解线性方程组的克拉默法则（也称之为克莱姆法则），使行列式成为数学界的共识，是行列式的历史源头。
下面从具体的二元、三元一次方程组说起。
5.1 规律
观察二元方程组的解：
再观察三元方程组的解：
可以看到如下规律：
推广到n元线性方程组的话，就是克拉默法则。
5.2 定义
如果有n个未知数，n个方程所组成的线性方程组，它的系数矩阵A的行列式不等于零，即：[公式]，则方程组有唯一解：[公式]，其中[公式]是把系数矩阵A中第i列的元素用方程组右端的常数项代替后所得到的n阶矩阵，即：[公式]。
从n阶行列式的定义出发可以证明：
[公式]
这就说明行列式的定义是成功的（从行列式的定义出发，需要先证明几个行列式的性质，然后证明克拉默法则，这里就不引用了）。
为什么要用“全排列”、“逆序数”这么晦涩的名词来定义行列式？完全是因为只有这样定义，克拉默法则才成立。
