证明三元均值不等式

发布网友发布时间：2024-10-08 02:58

共1个回答

热心网友时间：2024-10-25 13:30

证明 a +b +c /3≧abc ^1/3

首先证明 a +b /2≧√ab

（a -b)^2=a ^2+b ^2-2ab ≧0

因此 a ^2+b ^2≧2ab

设 √a =a，√b =b

所以 a +b ≧2√ab

接下来证明 a +b +c +d /4≧abcd ^1/4

a +b ≧2√ab

c +d ≧2√cd

所以 a +b +c +d ≧2√ab +2√cd

因此 a +b +c +d /4≧√ab +√cd /2

由于 √ab +√cd ≧2√√abcd =2abcd ^1/4

所以 a +b +c +d /4≧abcd ^1/4

最后证明 a +b +c/3≧abc ^1/3

设 A =a +b +c /3

a +b +c +A/4≧abcA ^1/4

将 A =a +b +c /3代入

因此 A ≧abcA ^1/4

A ^4≧abcA

A ^3≧abc

所以 A ≧abc ^1/3

因此 a +b +c /3≧abc ^1/3

热心网友时间：2024-10-25 13:33

证明 a +b +c /3≧abc ^1/3

首先证明 a +b /2≧√ab

（a -b)^2=a ^2+b ^2-2ab ≧0

因此 a ^2+b ^2≧2ab

设 √a =a，√b =b

所以 a +b ≧2√ab

接下来证明 a +b +c +d /4≧abcd ^1/4

a +b ≧2√ab

c +d ≧2√cd

所以 a +b +c +d ≧2√ab +2√cd

因此 a +b +c +d /4≧√ab +√cd /2

由于 √ab +√cd ≧2√√abcd =2abcd ^1/4

所以 a +b +c +d /4≧abcd ^1/4

最后证明 a +b +c/3≧abc ^1/3

设 A =a +b +c /3

a +b +c +A/4≧abcA ^1/4

将 A =a +b +c /3代入

因此 A ≧abcA ^1/4

A ^4≧abcA

A ^3≧abc

所以 A ≧abc ^1/3

因此 a +b +c /3≧abc ^1/3

声明：本网页内容为用户发布，旨在传播知识，不代表本网认同其观点，若有侵权等问题请及时与本网联系，我们将在第一时间删除处理。E-MAIL:11247931@qq.com