流形与几何(一): 点集拓扑初步
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发布时间：2024-10-08 07:13
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时间：2024-10-13 23:26
近期涉猎流形与几何领域知识，撰写笔记，以《微分几何入门与广义相对论》及Ko Honda的讲义为参考，本文尝试从点集拓扑学的基本概念出发，对拓扑空间、开集、邻域等概念进行阐述。
引入拓扑空间的动机在于定义函数连续性时，距离概念的缺失。在微积分中，函数连续性基于距离定义，而一般集合没有预设距离结构，因此需要构建不依赖距离的开集概念。
开集/邻域的定义是通过四条邻域公理，描述集合内元素的邻域系，满足条件的集合即为开集。开集概念具有闭合性，同时引出离散拓扑、平凡拓扑、诱导拓扑等概念。拓扑空间是集合与定义在其上的拓扑结构的统一体。
接着介绍几个重要概念：离散拓扑为元素最多的拓扑结构，平凡拓扑为元素最少的拓扑结构；一个集合的不同拓扑可以进行比较，较细的拓扑包含更多开集；诱导拓扑保证映射连续性，乘积拓扑与商拓扑则涉及集合与拓扑空间的乘积与商运算。
在拓扑空间中，Hausdorff空间是一种特殊类型，满足对于任意两点存在两个互不相交的开集包含这两点；连续映射定义了拓扑空间间映射的连续性，同胚映射则描述了拓扑空间间的等价关系。
连通性与紧致性是拓扑空间的重要性质，连通性意味着拓扑空间除了空集和全集外无其他既开又闭的子集；紧致性定义了集合的有限覆盖性质，紧致空间在拓扑性质上表现出较强稳定性，如连通性、紧致性等。
至此，本文对点集拓扑学的基本概念进行了概述，旨在为后续深入研究流形与几何奠定基础。通过构建拓扑空间、开集与邻域等概念，我们可以更全面地理解函数连续性、映射性质以及拓扑空间的结构与性质。
流形与几何(一): 点集拓扑初步
至此，本文对点集拓扑学的基本概念进行了概述，旨在为后续深入研究流形与几何奠定基础。通过构建拓扑空间、开集与邻域等概念，我们可以更全面地理解函数连续性、映射性质以及拓扑空间的结构与性质。
有哪些可以自学的微分流形教材
1、《微分几何》，作者：苏步青、胡和生；2、《曲线和曲面的微分几何学》，作者：多卡模；3、《微分几何学》，作者：吴大任；4、《微分几何》，作者：沈纯理、黄宣国；5、《微分几何100例》，作者：姜国英、黄宣国；6、《点集拓扑讲义》，作者：熊金城；7、《基础拓扑学》，作者：尤承业；8、《拓扑...
几何包括有几种类型?
这分类没有绝对的，一般的分类就是按Euclid几何，非Euclid几何一般指Lobachevsky几何和Riemann几何，代数几何（这门数学一般归在代数学或者数论里），分形，拓扑学一般分为点集拓扑，代数拓扑，微分拓扑这三类，微分几何一般指古典微分几何和整体微分几何，至于计算几何严格来说它不属于几何学，它应该归于计算...
什么是点集拓扑,什么是代数拓扑,二者有啥区别与联系?
是数学与应用数学专业的主干课。点集拓扑学（Point Set Topology），有时也被称为一般拓扑学（General Topology），是数学的拓扑学的一个分支。它研究拓扑空间以及定义在其上的数学构造的基本性质。这一分支起源于以下几个领域：对实数轴上点集的细致研究，流形的概念，度量空间的概念，以及早期的泛函分析。
请问学习拓扑学(点集拓扑、代数拓扑、微分拓扑)要什么基础?
微分拓扑，跟代数拓扑有较大的差别，需要初步微分几何作前置，最好还要会点实分析和复分析的内容（理论上是不需要的，但是会了会很有帮助，因为很多特殊的例子都是通过欧氏空间的情况来理解的），当然，跟代数拓扑一样，也要有一定的代数基础，特别是张量方面（本科的抽象代数可能不太够，所以学代数拓扑...
简单的讲讲什么是拓扑学
早期的拓扑学明显地分为两支：一是点集拓扑，以康托的贡献为起点；另一支是组合拓扑，由上世纪末庞加莱所首创。庞加莱平时行支迟缓、笨拙，视力很差，常常给人心不在焉的印象。可是，庞加莱具有超凡的心算和数学思维能力。庞国莱对20世纪数学影响十分浣。1895年，他出版了《analysissitus(位置分析）...
学习拓扑学需要什么基础
这三个领域并不是必须全部掌握，而是需要根据你的研究方向和个人兴趣来决定。如果你更倾向于理论研究，那么代数拓扑会是一个不错的选择。如果你对几何学感兴趣，微分拓扑可能是你更感兴趣的方向。而点集拓扑则是所有拓扑学研究的基础，无论你的兴趣点在哪里，都应该首先掌握。因此，选择学习路径时，应当...
创建于20 世纪的主要数学分支有哪些?请阐述它们各自的主要思想方法...
几何学:(整体,局部)微分几何, 代数几何, 流形上的分析, 黎曼流形与洛仑兹流形, 齐性空间与对称空间, 调和映照, 子流形理论, 杨--米尔斯场与纤维丛理论, 辛流形. 凸几何与离散几何 欧氏几何 非欧几何 解析几何拓扑学:微分拓扑, 代数拓扑, 低维流形, 同伦论, 奇点与突变理论, 点集拓扑. 流形和胞腔复形...
有没有推荐给数学与应用数学专业大一新生的书籍、网课、资
点集拓扑：Armstrong的《基础拓扑学》。这本书适合大三或大四学生深入学习拓扑学基础。实分析：汤松的《实变函数论》。这本书虽然有些过时，但内容丰富，适合深入学习实分析。泛函分析：孙炯老师的教材和Stein的系列书籍。这两套资源提供了不同层次的泛函分析知识。微分流形与现代微分几何：Loring Tu的《...
大学数学专业有哪些数学课程?
1、数学分析 数学分析又称高级微积分，分析学中最古老、最基本的分支。一般指以微积分学和无穷级数一般理论为主要内容，并包括它们的理论基础（实数、函数和极限的基本理论）的一个较为完整的数学学科。它也是大学数学专业的一门基础课程。数学中的分析分支是专门研究实数与复数及其函数的数学分支。2、...
