...点P是正方形ABCD对角线AC上一动点,点E在射线BC上,且PB=PE,连接PD...
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发布时间：2024-10-08 09:26
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时间：2024-10-13 16:08
在△ABP和△ADP中AB＝AD∠BAP＝∠DAP＝45°AP＝AP，
∴△ABP≌△ADP，
∴BP=DP，
∵PB=PE，
∴PE=PD，
过点P做PM⊥CD，于点M，作PN⊥BC，于点N，
∵PB=PE，PN⊥BE，
∴BN=NE，
∵BN=DM，
∴DM=NE，
在Rt△PNE与Rt△PMD中，
∵PD=PE，NE=DM，
∴Rt△PNE≌Rt△PMD，
∴∠DPM=∠EPN，
∵∠MPN=90°，
∴∠DPE=90°，
故PE⊥PD，
PE与PD的数量关系和位置关系分别为：PE=PD，PE⊥PD；
（2）∵四边形ABCD是正方形，AC为对角线，
∴BA=DA，∠BAP=∠DAP=45°，
∵PA=PA，
∴△BAP≌△DAP（SAS），
∴PB=PD，
又∵PB=PE，
∴PE=PD．
（i）当点E与点C重合时，点P恰好在AC中点处，此时，PE⊥PD．
（ii）当点E在BC的延长线上时，如图．
∵△ADP≌△ABP，
∴∠ABP=∠ADP，
∴∠CDP=∠CBP，
∵BP=PE，
∴∠CBP=∠PEC，
∴∠PEC=∠PDC，
∵∠1=∠2，
∴∠DPE=∠DCE=90°，
∴PE⊥PD．
综合（i）（ii），PE⊥PD；
（3）同理即可得出：PE⊥PD，PD=PE．
