...设G是一个群,又有H<=K<=G.证明:(G:H)=(G:K)(K;H)。

发布网友发布时间：2024-10-07 14:53

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热心网友时间：2024-10-10 12:23

证明：先设G为有限群，则K、H也为有限群
因为H<=G,设G=∪（i=1到n)giH,gi遍历G的左陪集gH的代表元集
同理可设G=∪（j=1到m)xjK,xj遍历G的左陪集xK的代表元集
又设K=∪（l=1到s)klH,kl遍历K的左陪集kH的代表元集
则G=∪（1<=j<=m)xjK=∪xj∪klH=∪∪(1<=j<=m,1<=l<=s)xjklH
=∪（1<=i<=n)giH
因为G关于子群H的左陪集个数是唯一的，所以有n=ms，即[G:H]=[G:K][K:H]
若G为无限群，将上述的n用∞取代，m,s也做相应调整，仿上也能证明结论。
证毕。

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...设G是一个群,又有H&lt;=K&lt;=G.证明:(G:H)=(G:K)(K;H)。

...设G是一个群,又有H<=K<=G.证明:(G:H)=(G:K)(K;H)。