...如图,椭圆C: x 2 +3 y 2 =3 b 2 ( b >0).(Ⅰ) 求椭圆C的离心率...
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发布时间：2024-10-07 13:45
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时间：2024-10-25 13:22
所以 e ＝ ＝ ＝ ＝ ．
(Ⅱ)解：设 A ( x 1 ， y 1 )， B ( x 2 ， y 2 )，△ ABO 的面积为 S ．
如果 AB ⊥ x 轴，由对称性不妨记 A 的坐标为( ， )，此时 S ＝ ＝ ；
如果 AB 不垂直于 x 轴，设直线 AB 的方程为 y ＝ kx ＋ m ，
由 得 x 2 ＋3( kx ＋ m ) 2 ＝3，
即 (1＋3 k 2 ) x 2 ＋6 kmx ＋3 m 2 －3＝0，又Δ＝36 k 2 m 2 －4(1＋3 k 2 ) (3 m 2 －3)＞0，
所以 x 1 ＋ x 2 ＝－ ， x 1 x 2 ＝ ，
( x 1 － x 2 ) 2 ＝( x 1 ＋ x 2 ) 2 －4 x 1 x 2 ＝ ， ①
由 | AB |＝ 及 | AB |＝ 得
( x 1 － x 2 ) 2 ＝ ， ②
结合①，②得 m 2 ＝(1＋3 k 2 )－ ．又原点 O 到直线 AB 的距离为 ，
所以 S ＝ ，
因此 S 2 ＝ ＝ [ － ]＝ [－ ( －2) 2 ＋１]
＝－ ( －2) 2 ＋ ≤ ，
故 S ≤ ．当且仅当 ＝2，即 k ＝±1时上式取等号．又 ＞ ，故 S max ＝ ．
略
