求助!线性代数证明题!A是实对称矩阵,证明当实数t足够大时,A+tE是正定...

发布网友发布时间：2024-10-07 15:15

共4个回答

热心网友时间：2024-10-07 15:52

矩阵不方便打出来，我简单地说说原理吧。
正定就是给任意的向量x后，x'(A+tE)x>0。
很明显，t是加到A的主对角线上的。
A主对角线上的元素（例如a11,a22这些）在最终的乘积展开式中出现的形式是(aii+t)xi²。
A的非主对角线上的元素最终的出现形式是2aijxixj。
当t很大的时候，我们可以取出足够多的xi²和xj²来跟2aijxixj凑成完全平方，于是，x'(A+tE)x的展开式就纯粹由一些平方项组成，并且这些平方项不全为0，因此A+tE是正定的。

热心网友时间：2024-10-07 15:50

我线数挂了…郁闷

热心网友时间：2024-10-07 15:51

t足够大是指存在实数M，使得t>M时满足某种性质。
这个问题很容易，只要考察A的特征值(一定是实数)即可。

热心网友时间：2024-10-07 15:53

正定就是给任意的向量x后，x'(A+tE)x>0。
很明显，t是加到A的主对角线上的。
A主对角线上的元素（例如a11,a22这些）在最终的乘积展开式中出现的形式是(aii+t)xi²。
A的非主对角线上的元素最终的出现形式是2aijxixj。
当t很大的时候，我们可以取出足够多的xi²和xj²来跟2aijxixj凑成完全平方，于是，x'(A+tE)x的展开式就纯粹由一些平方项组成，并且这些平方项不全为0，因此A+tE是正定的。
就这样。。