高数八个重要极限公式?
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发布时间：2024-10-07 15:15
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热心网友
时间：2024-10-07 15:54
1. 指数函数的极限：$\lim_{x to 0}(1+x)^{\frac{1}{x}} = e$，这是指数函数的一个重要性质，经常用于求解与指数相关的极限问题。
2. 指数函数的极限变形：$\lim_{x \to 0}(1+ax)^{\frac{1}{x}} = e^{a}$，这个公式是上一个公式的推广，其中$a$是常数。
3. 指数函数的极限拓展：$\lim_{x to \infty}(1+\frac{1}{x})^{x} = e$，这个公式描述了当$x$趋向于无穷大时，$(1+\frac{1}{x})^{x}$趋向于自然常数$e$。
4. 无穷小的比较：当$x \to 0$时，可以比较不同无穷小的阶，例如$\lim_{x \to 0}\frac{\sin x}{x} = 1$，这说明$\sin x$和$x$是同阶无穷小。
5. 洛必达法则：如果$\lim_{x \to a}\frac{f(x)}{g(x)}$的形式是$frac{0}{0}$或$frac{\infty}{\infty}$，则有$\lim_{x \to a}frac{f(x)}{g(x)} = \lim_{x \to a}\frac{f'(x)}{g'(x)}$，前提是右侧的极限存在。
6. 夹逼准则：如果存在函数$f(x)$、$g(x)$和$h(x)$，对于所有$x$接近于$a$（但不等于$a$）有$f(x) \leq g(x) \leq h(x)$，且$\lim_{x \to a}f(x) = \lim_{x \to a}h(x) = L$，则$\lim_{x \to a}g(x) = L$。
7. 单调有界准则：如果一个数列${x_n}$单调递增且有上界，或者单调递减且有下界，则该数列存在极限。
8. 等价无穷小替换：当$x \to 0$时，可以使用等价无穷小的概念来简化极限的计算，例如$\lim_{x \to 0}\frac{sin x}{x} = 1$可以用来替换$\sin x$为$x$。
这些公式在求解极限问题时非常有用，它们可以帮助我们更快地找到解决问题的方法。在实际应用中，需要根据具体问题灵活运用这些公式，有时还需要结合其他数学工具和技巧来求解更复杂的极限问题。
以上就是我的解答，希望对您有帮助，谢谢！
热心网友
时间：2024-10-07 15:56
1、第一个重要极限的公式：
lim sinx / x = 1 (x->0)当x→0时，sin / x的极限等于1；特别注意的是x→∞时，1 / x是无穷小，无穷小的性质得到的极限是0。
2、第二个重要极限的公式：
lim (1+1/x) ^x = e（x→∞）当x→∞时，（1+1/x）＾x的极限等于e；或当x→0时，（1+x）＾（1/x）的极限等于e。
相关性质：
1、唯一性：若数列的极限存在，则极限值是唯一的，且它的任何子列的极限与原数列的相等。
2、有界性：如果一个数列收敛（有极限），那么这个数列一定有界。但是，如果一个数列有界，这个数列未必收敛。
3、与子列的关系：数列{xn} 与它的任一平凡子列同为收敛或发散，且在收敛时有相同的极限；数列{xn} 收敛的充要条件是：数列{xn} 的任何非平凡子列都收敛。
希望能帮助你，还请及时采纳谢谢！
