已知f(x)=xlnx

发布网友发布时间：2024-10-07 08:59

共3个回答

热心网友时间：2024-11-05 21:15

1) g(x)=lnx+k/x (x>0)
g`(x)=1/x-k/x^2=1/x(1-k/x)=(x-k)/x^2
当k<0 时，g`(x)>0恒成立,即 g(x)在定义域内递增
当k>0时,g'(x)>0,则有x>k,因此g(x)的递增区间是(K,+无穷)
当g'(x)<0时,则有0<x<k,g(x)的递减区间是(0,K)
2) 设F(x)=f(x)-2x+e=xlnx-2x+e
F'(x)=x*1/x+lnx-2=lnx-1 同上可知，F(x)在x>0时的最小值在x=e处取得，最小值F(e)=f(e)-2e+e=0
所以F(x)=f(x)-2x+e>=0恒成立，即2x-e<=f(X) …… （1）
设G(x)=f(x)-(x^2-1)/2=xlnx-(x^2-1)/2
G'(x)=lnx+1-x <=0恒成立（可以同样方法求导得出G`(x)的最大值为0。）
G(x)=f(x)-(x^2-1)/2单调递减，在x=1处取得最大值G(1)=f(1)-(1^2-1)/2=0
因此G(x)=f(x)-(x^2-1)/2<=0…… （2）
综上（1）（2），原不等式得证。

热心网友时间：2024-11-05 21:16

1.g(x)=lnx+k/x 求导：g'(x)=1/x -k/x^2 令g'(x)=0,解得 x=k ,又由题意得x>0，所以若k=0<0，g'(x)=(x-k)>0 ,即 g(x)在（0，正无穷大）单调递增，若k>0时，x>k时 g’（x)>0 ，x=k时，g‘（x)=0,x<k时g'(x)<0，即g(x)在（0，k]上递减，在[k,无穷大)上递增

2.题目有点不清楚，解题方向如下：
令G(x)= f(x)-2x+e ,G(1)=e-2>0 证明G（x)在[1，正无穷大）递增即可
Q（x)=(x^2 -1)/2 -f(x),Q(1)=0 , 证明Q（x)在[1，正无穷大）递增即可

热心网友时间：2024-11-05 21:16

g(x)导数为1/x-k/x^2
所以当k>0时在(0,k)单调递减,在(k,正无穷)单调递增
当k<=0时在(0,正无穷)单调递增