高斯伪谱法的Matlab实现(二)

发布网友发布时间：2024-10-08 00:34

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热心网友时间：2024-12-13 00:09

高斯伪谱法在Matlab中的实现是解决轨迹优化问题的有效方法。轨迹优化问题可以表示为数学模型（公式1.1），其中动力学方程为微分形式，约束条件为积分形式。由于解析解通常不可得，我们采用数值方法离散化控制和状态变量，将原动力学优化问题转化为代数规划问题。高斯伪谱法即提供了一种进行这一转化的方法。

在介绍高斯伪谱法之前，需要了解拉格朗日多项式插值方法。在轨迹优化过程中，需要将连续动态过程离散化，以求解最优轨迹。拉格朗日插值法提供了一种近似方法，允许我们通过已知的离散点构建状态或控制变量随时间变化的函数表示。拉格朗日插值多项式（公式1.2）提供了一种时间复杂度较低的插值方法，能够准确通过插值点，但存在龙格现象。为解决此问题，可以使用分段方法，采用较低次多项式进行插值。

数值积分方法和代数精度在轨迹优化过程中至关重要。通过拉格朗日插值多项式进行积分求解，可以使用Matlab的int函数或数值积分方法。使用高斯-勒让德积分公式（公式1.5）在[1,1]区间内进行积分，具有[公式]阶代数精度，保证了被积函数若能表示为次数不高于[公式]的多项式，则积分结果准确无误。高斯-勒让德积分方法简化为（公式1.7）后，计算效率高，权重系数（公式1.9）便于计算。

拉格朗日多项式插值法的微分求解在后续动力学约束处理中至关重要。微分公式（公式1.10）通过拉格朗日插值基函数的导数（公式1.11）来表达。使用高斯伪谱法的配点（公式1.13）进行离散化后，微分形式的动力学方程（公式1.19）可转化为代数方程，便于使用优化算法求解。

在高斯伪谱法中，积分权重系数（公式1.7）和微分估计矩阵（公式1.18）在给定离散点数量后预先计算，随优化问题方程变化而不变。这简化了计算过程，便于Matlab实现（公式1.20）和（公式1.21）的代数方程求解，可使用梯度序列二次规划、内点法等算法。Matlab代码实现（公式1.22）验证了积分权重系数和微分估计矩阵的正确性。

通过高斯伪谱法，轨迹优化问题可转化为代数规划问题，Matlab代码实现简化了计算过程，提高了求解效率。后续将具体针对轨迹问题，使用Matlab进行优化，获得最优轨迹。