在三角形abc中,点d是ab边中点,点m在三角形abc内部,且∠mbc=∠mac
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发布时间：2024-10-07 12:46
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时间：2024-10-28 21:05
设角MBA=α,角MAB=β.角MAC=角MBC=θ,并不妨设AD=DB=1,那么
在三角形MBA里,根据正弦定理可得MA=(2sinα)/(sin(α+β)).
然后在直角三角形MFA里,可得AF=MAcosθ=(2sinαcosθ)/(sin(α+β))..
接着在三角形FAD里,用余弦定理得
DF^2=AD^2+AF^2-2AD*AF*cos(β+θ)
=1+4[(sinαcosθ)/(sin(α+β))]^2-2*(2sinαcosθ)/(sin(α+β))*cos(β+θ)
=1+4[sinαcosθ/[sin(α+β)]^2]*[sinαcosθ-cos(β+θ)*sin(α+β)],对后面中括号内的两项均用积化和差
=1+4[sinαcosθ/[sin(α+β)]^2]*[0.5sin(α+θ)+0.5sin(α-θ)-0.5sin(α+2β+θ)-0.5sin(α-θ)],可以对消掉2项,即为
=1+2[sinαcosθ/[sin(α+β)]^2]*[sin(α+θ)-sin(α+2β+θ)],然后使用和差化积得
=1+4[sinαcosθ/[sin(α+β)]^2]*[cos(α+β+θ)sin(-β)]
=1-4sinαsinβcosθcos(α+β+θ)/[sin(α+β)]^2]
同理可得DE^2=1-4sinαsinβcosθcos(α+β+θ)/[sin(α+β)]^2](注意这个式子关于α和β是对称的)
因此有DE^2=DF^2,那么DE=DF.
