已知二次函数f(x)=ax2+(2b+1)x-a(a,b∈R,a≠0) (1)当a=b时f(x)在
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发布时间：2024-10-07 17:19
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时间：2024-10-07 19:55
a
2
，a]中
a
2
＜a，故a＞0，
当a=b时，f（x）=ax2+（2a+1）x-a的图象开口向上，对称轴为直线x=−
2a+1
2a
，
∵−
2a+1
2a
＜0＜
a
2
＜a，
故f（x）在[
a
2
，a]上为增函数，
当x=
a
2
时，函数有最小值
3a
4
，
即f（
a
2
）=
a3
4
+a2−
a
2
=
3a
4
，
即a（a+5）（a-1）=0，
∵a＞0，
∴a=1．
（2）令ax2+（2b+1）x-a=（x2-1）a+2xb+x=0，将其看成为平面直角坐标系a-O-b中的一条直线，
由于直线上一点（a，b）到原点的距离大于等于原点到直线的距离，
即
a2+b2
≥
|x−2|
(x2−1)2+(2x)2
=
|x−2|
(x2+1)2
=
|x−2|
|x2+1|
，
令g（x）=
|x−2|
|x2+1|
=|
1
(x−2)+
5
x−2
+4
|，
则
a2+b2
≥g（x）max，
∵y=x-2+
5
x−2
在x∈[1，2）是减函数，
故g（x）=
|x−2|
|x2+1|
=|
1
(x−2)+
5
x−2
+4
|≤g（1）=
1
2
，
故a2+b2的最小值为
1
4
．
