已知函数f(x)=2^x-1/2^|x| 1、若 f(x)=2,求x值
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发布时间：2024-10-07 17:20
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时间：2024-10-14 00:31
f(x)=2^x-1/2^|x|=2
当x<0时,|x|=-x ,f(x)=2^x-1/2^|x|=2^x-1/2^(-x)=2^x-2^x=0 不满足
所以 x≥0 ,|x|=x ,f(x)=2^x-1/2^|x|=2^x-1/2^x=2
令2^x=t (t>0) 则 t-1/t=2
解得: t=1+根号2 或 t=1-根号2(小于0舍去)
2^x=t=1+根号2
x=log2(1+根号2)
(2) 因为t∈[1,2], 2t∈[2,4], 所以|t|=t ,f(t)=2^t-1/2^|t|=2^t-1/2^t
令2^t=k ,k∈[2,4],
f(t)=k-1/k
f(2t)=2^(2t)-1/2^(2t)=(2^t)^2-(2^t)^2=k^2-1/k^2
所以
(2^t)f(2t)+mf(t)=k(k^2-1/k^2)+m(k-1/k)=k^3-1/k+mk-m/k=k^3-(1+m)/k+mk≥0 k∈[2,4],
由于k>0
所以左右同乘以k
k^4+mk^2-(1+m)≥0
再令 a=k^2 则a∈[4,16],
则a^2+ma-(1+m)≥0, a∈[4,16],
变成二次抛物线的问题了
对称轴 a=-m/2
令g(a)=a^2+ma-(1+m) a∈[4,16],
当a=-m/2<4时(对称轴位于定义域左边),即m>-8
只要f(4)≥0 即 f(1)=1+m-(1+m)=3m+15≥0 满足 此时m≥-5
当a=-m/2>16时(对称轴位于定义域右边),即m<-32
只要f(16)≥0 即 f(16)=256+16m-(1+m)=15m+255≥0 m>-17 又有此时m<-32 故无交集,无解
当16≥a=-m/2≥4时(对称轴位于定义域中间),即-8≥m≥-32
只要f(-m/2)≥0 即 f(-m/2)=(m^2)/4-(m^2)/2-(1+m)=-(m^2)/4-(1+m)≥0
解得m=-2与此时-8≥m≥-32无交集
综上所述 m取值 范围为m≥-5
也可以这样解,因为这个式子刚好可以因式分解
g(a)=a^2+ma-(1+m)≥0, a∈[4,16],
g(a)=a^2+ma-(1+m)=(a-1)(a+1+m)≥0, a∈[4,16],
由于 a-1>0
所以约去a-1 a+1+m≥0
m ≥-a-1≥-5
热心网友
时间：2024-10-14 00:36
