...的任意实数,函数的值恒为正数,则实数的取值范围是___.

发布网友发布时间：2024-10-07 17:58

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热心网友时间：2024-11-10 00:35

题目给出的函数是分式函数,且分子分母均为二次三项式,对应的函数均开口向上,所以分分子分母对应的方程同解和不同解讨论,同解时利用系数相等求的值,不同解时,若,则需分子分母对应的方程均无解,时,在定义域内函数值恒大于.
解:给出的函数分子分母都是二次三项式,对应的图象都是开口向上的抛物线,若分子分母对应的方程是同解方程,则,解得.此时函数的值为.若分子分母对应的方程不是同解方程,要保证对于定义域内的任意实数,函数值均为正,则需要分子分母的判别式均小于,即,解得.的范围是.当时,函数化为,函数定义域为,分母恒大于,分子的判别式小于,分子恒大于,函数值恒正.综上,对于定义域内的任意实数,函数值均为正,则实数的取值范围是或.故答案为:或.
本题考查恒成立问题,考查了利用函数值的范围求解参数的取值范围,解答此题的关键是由函数值恒为正得到分子分母的取值情况,属中档题.