如图1,Rt△ABC两直角边的边长为AC=3,BC=4. (1)如图2,⊙O与Rt△ABC的边...
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发布时间：2024-10-03 16:23
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时间：2024-11-11 21:00
试题分析：（1）作出∠B的角平分线BD，再过X作OX⊥AB，交BD于点O，则O点即为⊙O的圆心；
（2）由于⊙P与△ABC哪两条边相切不能确定，故应分⊙P与Rt△ABC的边AB和BC相切；⊙P与Rt△ABC的边AB和AC相切时；⊙P与Rt△ABC的边BC和AC相切时三种情况进行讨论．
试题解析：（1）如图所示：
①以B为圆心，以任意长为半径画圆，分别交BC、AB于点G、H；②分别以G、H为圆心，以大于 GH为半径画圆，两圆相交于D，连接BD；③过X作OX⊥AB，交直线BD于点O，则点O即为⊙O的圆心．
（2）①当⊙P与Rt△ABC的边AB和BC相切时，由角平分线的性质可知，动点P是∠ABC的平分线BM上的点，如图1，在∠ABC的平分线BM上任意确定点P 1 （不为∠ABC的顶点）
∵OX=BOsin∠ABM，P 1 Z=BPsin∠ABM，当BP 1 ＞BO时，P 1 Z＞OX即P与B的距离越大，⊙P的面积越大，这时，BM与AC的交点P是符合题意的、BP长度最大的点； 如图2，
∵∠BPA＞90°，过点P作PE⊥AB，垂足为E，则E在边AB上，
∴以P为圆心、PC为半径作圆，则⊙P与CB相切于C，与边AB相切于E，即这时⊙P是符合题意的圆，
时⊙P的面积就是S的最大值，
∵AC=1，BC=2，∴AB= ，
设PC=x，则PA=AC-PC=1-x
在直角△APE中，PA 2 =PE 2 +AE 2 ，
∴（1-x） 2 =x 2 +（ -2） 2 ，
∴x=2 -4；
②如图3，
同理可得：当⊙P与Rt△ABC的边AB和AC相切时，设PC=y，则（2-y） 2 =y 2 +（ -1） 2 ，
∴y= ；
③如图4，
同理可得，当⊙P与Rt△ABC的边BC和AC相切时，设PF=z，
∵△APF∽△PBE，
∴PF：BE=AF：PE，
∴ ，
∴z= ．
由①、②、③可知，
＞ ＞
∴z＞y＞x，
∴⊙P的面积S的最大值为 π．
考点:1. 切线的性质；2.角平分线的性质；3.勾股定理；4.作图—复杂作图．
