已知正四棱锥s-ABCD中,SA=2√3,那么当该棱锥的体积最大时,它的高为多 ...

发布网友发布时间：2024-10-03 08:10

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热心网友时间：2024-10-06 12:08

设正四棱锥s-abcd的高为h，正四棱锥s-abcd底面为正方形，对角线垂直平分，对角线的一半=√(sa²-h²)=√(12-h²)，底面面积=2(12-h²)，该棱锥的体积v=2(12-h²)h/3，求导数得：v'=2(12-3h²)/3，当v'＞0时，12-3h²＞0，0＜h＜2，当v'＜0，h＞2，当v'=0，h=2时，该棱锥的体积最大，它的高为2.

热心网友时间：2024-10-06 12:04

过S作平面ABCD的垂线，垂足为H，设SH＝h,则h为该棱锥的高
在正四棱锥中有三角形SHA是直角三角形且SA为斜边，故AH＝根号(12-h^2)
则S底面＝2(12-h^2)
V＝1/3*S底面*h=2(12-h^2)*h=24h-2h^3
求导,V'=24-6h^2,得(0,2)上V'>0,(2,+无穷大)上V'<0
故V最大时h=2