...x轴于A、B两点,抛物线y=﹣x 2 +bx+c过A、B两点. (1)求这个抛物线的...
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发布时间：2024-10-03 10:06
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时间：2024-10-04 09:53
解：（1）∵ 分别交y轴、x轴于A、B两点，
∴A、B点的坐标为：A（0，2），B（4，0）。
将x=0，y=2代入y=﹣x 2 +bx+c得c=2；
将x=4，y=0代入y=﹣x 2 +bx+c得0=﹣16+4b+2，解得b= 。
∴抛物线解析式为：y=﹣x 2 + x+2。
（2）如图1，
设MN交x轴于点E，则E（t，0），BE=4﹣t。
∵ ，
∴ME=BE?tan∠ABO=（4﹣t）× =2﹣ t。
又∵N点在抛物线上，且x N =t，∴y N =﹣t 2 + t+2。
∴ 。
∴当t=2时，MN有最大值4。
（3）由（2）可知，A（0，2），M（2，1），N（2，5）．
如图2，
以A、M、N、D为顶点作平行四边形，D点的可能位置有三种情形。
（i）当D在y轴上时，设D的坐标为（0，a），
由AD=MN，得|a﹣2|=4，解得a 1 =6，a 2 =﹣2，
从而D为（0，6）或D（0，﹣2）。
（ii）当D不在y轴上时，由图可知D为D 1 N与D 2 M的交点，
由D 1 （0，6），N（2，5）易得D 1 N的方程为y= x+6；
由D 2 （0，﹣2），M（2，1）D 2 M的方程为y= x﹣2。
由两方程联立解得D为（4，4）。
综上所述，所求的D点坐标为（0，6），（0，﹣2）或（4，4）。
（1）首先求得A、B点的坐标，然后利用待定系数法求抛物线的解析式。
（2）求得线段MN的表达式，这个表达式是关于t的二次函数，利用二次函数的极值求线段MN的最大值。
（3）明确D点的可能位置有三种情形，如图2所示，不要遗漏．其中D 1 、D 2 在y轴上，利用线段数量关系容易求得坐标；D 3 点在第一象限，是直线D 1 N和D 2 M的交点，利用直线解析式求得交点坐标。
