算法杂记 | AC自动机
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发布时间：2024-10-03 13:48
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时间：2024-11-06 16:12
首先，构建字典树是基于每个模式串的后缀形成一个树结构。以模式串的前缀为根节点，每个模式串的后缀作为子节点，形成字典树。以此方式构建字典树可以避免回溯，提高匹配效率。
在构建完字典树之后，接下来需要构建fail树，即“寄生”在字典树上的树。fail树中的有向边连接了字典树中不同字符串的末尾节点，每条边的终点表示起始节点的后缀。通过fail指针，可以从匹配成功的字符串快速跳跃到匹配成功的后缀，从而避免回溯，节省大量时间。
“fail指针”是fail树的关键组成部分，它指向起始节点的后缀。例如，对于模式串“abcd”，其子串“ab”指向字符串“b”，子串“abc”指向字符串“cd”，而整个字符串“abcd”指向“cd”。通过构建fail树，AC自动机能够在匹配成功后，通过fail指针快速查找并标记所有匹配成功的后缀。
构建fail树的过程通过BFS实现，首先将字典树的根节点入队，然后逐层构建fail指针。在遍历节点时，如果其儿子存在，则将儿子节点的fail指针指向父节点的fail指针指向的节点的同一儿子。若不存在，则将儿子指针直接指向父节点的fail指针指向的节点的同一儿子。通过这种方式，可以确保每个节点的fail指针都能正确指向其后缀节点。
在查询操作中，当某个节点匹配成功时，通过fail指针在子树间跳跃，标记每个后缀的出现情况。通过这种方式，可以快速统计文本串中出现的模式串数量。
对于更复杂的查询操作，如要求输出每个模式串在文本串中的出现次数，可以进行拓扑排序优化。通过将fail树的边构成的图进行拓扑排序，可以按照顺序累加每个模式串的出现次数，避免重复计算，从而提高查询效率。
AC自动机的实现步骤和优化策略使得其在多模式匹配问题中具有较高的效率，能够快速地在文本串中查找和统计多个不同模式串的出现情况。通过结合字典树和fail树的构建，以及拓扑排序优化，AC自动机提供了一种高效且灵活的解决方案。
