...角APB,角APC,角BPC都等于120度,求证PA+PB+PC的值最小
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发布时间：2024-10-02 22:21
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时间：2024-10-15 03:47
解 17世纪法国数学家P.Fermat曾向伽利略的学生托里拆里提出以下有趣的著名问题:
在△ABC的平面上求一点P,使P点到△ABC三顶点的距离之和为最小．托里拆里用好几种方法解决了这一问题，得出结论:
(1) ,当△ABC的最大内角小于120°时，则在△ABC形内存在一点P使∠BPC=∠CPA=∠APB=120°，这点即是使PA+PB+PC为最小的点；此时该点又称作为正等角中心。
(2),当△ABC的最大内角不小于120°时，则当P为最大内角所在的顶点时，PA+PB+PC为最小。
这点称作费马点。
下面仅对情况(1) 进行讨论。
设P是△ABC内一点，连PA，PB，PC。以AB为边向外作正三角形ABA‘，则A’为一确定点。以PB为边作正三角形BPP'，由于P点是变动的，所以P'也是变动的。
但是，因为BP=BP'，BA=BA'，∠PBA=∠P'BA'=60°-∠ABP'，
所以ΔABP≌ΔA'BP'，
故PA=P'A'。
又因为PB=BP'=PP'，所以有PA+PB+PC=P'A'+PP'+PC。
因为A'是定点，P是可选择的动点，且P'随P而变。现在我们要讨论的PA+PB+PC即是A'，C之间的折线A'P'PC的长度何时取得最小值的问题了。
显然，当这四点在同一直线上时，长度为最小。此时，因为∠PBP’=∠BP’P=60°，
所以∠BPC=∠BP'A'=120°，即∠APB=120°，所以∠CPA=120°。这就是我们要求的结论。
具体的P点位置: 设△ABC的最大内角小于120°，分别以边BC，CA，AB为边向外作正△A'BC，正△AB'C，正△ABC'。则AA'，BB'，CC'交于一点P，P点就是的费马点。
