...△ABC的斜边AB在x轴上,点C在y轴上,∠ACB=90°,OA、OB的长分别是一 ...
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发布时间：2024-10-02 22:16
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时间：2024-10-03 04:23
（2） 。
（3）存在点M，使得C、B、N、M为顶点的四边形是正方形，
点M的坐标是（28，16）或（14，14）或（﹣12，﹣4）或（2，﹣2）。
试题分析：（1）解一元二次方程，求得OA、OB的长，证△AOC∽△COB，推出OC 2 =OA?OB，即可得出答案。
解x 2 ﹣25x+144=0得x=9或x=16，
∵OA、OB的长分别是一元二次方程x 2 ﹣25x+144=0的两个根（OA＜OB），
∴OA=9，OB=16。
在Rt△AOC中，∠CAB+∠ACO=90°，
在Rt△ABC中，∠CAB+∠CBA=90°，
∴∠ACO=∠CBA。
∵∠AOC=∠COB=90°，∴△AOC∽△COB。∴OC 2 =OA?OB。∴OC=12，
∴C（0，12）。
（2）应用相似三角形求得点D 的坐标，应用待定系数法即可求得直线AD的解析式。
在Rt△AOC和Rt△BOC中，∵OA=9，OC=12，OB=16，∴AC=15，BC=20。
∵DE⊥AB，∴∠ACD=∠AED=90°。
又∵AD平分∠CAB，AD=AD，∴△ACD≌△AED。∴AE=AC=15。
∴OE=AE﹣OA=15﹣9=6，BE=10。
∵∠DBE=∠ABC，∠DEB=∠ACB=90°，∴△BDE∽△BAC。
∴ ，即 ，解得 。
∴D（6， ）。
设直线AD的解析式是y=kx+b，
将A（﹣9，0）和D（6， ）代入得：
，解得 。
∴直线AD的解析式是： 。
（3）存在点M，使得C、B、N、M为顶点的四边形是正方形。
① 以BC为对角线时，作BC的垂直平分线交BC于Q，交x轴于F，在直线FQ上取一点M，使∠CMB=90°，则符合此条件的点有两个，
BQ=CQ= BC=10，
∵∠BQF=∠BOC=90°，∠QBF=∠CBO，
∴△BQF∽△BOC。∴ 。
∵BQ=10，OB=16，BC=20，∴BF= 。
∴OF=16﹣ = 。∴F（ ，0）。
∵OC=12，OB=16，Q为BC中点，∴Q（8，6）。
设直线QF的解析式是y=ax+c，
代入得： ，解得 。
∴直线FQ的解析式是： 。
设M的坐标是（x， ），
根据CM=BM和勾股定理得：（x﹣0） 2 +（ ﹣12） 2 =（x﹣16） 2 +（ ﹣0） 2 ，
解得x 1 =14，x 2 =2。
∴M的坐标是（14，14），（2，﹣2）。
②以BC为一边时，过B作BM 3 ⊥BC，且BM 3 =BC=20，过M 3 Q⊥OB于Q，还有一点M 4 ，CM 4 =BC=20，CM 4 ⊥BC，
则∠COB=∠M 3 B=∠CBM 3 =90°。
∴∠BCO+∠CBO=90°，
∠CBO+∠M 3 BQ=90°。
∴∠BCO=∠M 3 BQ。
∵在△BCO和△M 3 BQ中，
，
∴△BCO≌△M 3 BQ（AAS）。
∴BQ=CO=12，QM 3 =OB=16，
OQ=16+12=28，
∴M 3 的坐标是（28，16）。
同法可求出CT=OB=16，M 4 T=OC=12，OT=16﹣12=4，
∴M 4 的坐标是（﹣12，﹣4）。
综上所述，存在点M，使得C、B、N、M为顶点的四边形是正方形，
点M的坐标是（28，16）或（14，14）或（﹣12，﹣4）或（2，﹣2）。
