已知数列{an}满足a1=1,an+1-an=2的n次方(n∈N*)1.求通项公式 2.设bn...

发布网友发布时间：2024-10-03 00:26

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热心网友时间：2024-10-19 11:12

an+1=(an+1-an)+(an-an-1)+...(a2-a1)+a1=2^n+2^(n-1)+...+2+1=2*(2^n-1)=2^(n+1)-2+1
所以 an=2^n-1

因为 bn=n*2^n-n
所以 Sn=(1*2^1-1)+(2*2^2-2)+(3*2^3-3)+...+(n*2^n-n) 则2*Sn=(1*2^2-2)+(2*2^3-4)+(3*2^4-6)+...+((n-1)*2^n-2(n-1))+(n*2^(n+1)-2n)
所以 Sn=2*Sn-Sn=(1*2^2-2*2^2)+(2*2^3-3*2^3)+...+((n-1)*2^n-n*2^n)-n(n+1)/2+(n*2^(n+1))-(1*2^1)
=n*2^(n+1)-2n-2-(2^2+2^3+...+2^n)=(n-1)*2^(n+1)-n(n+1)/2+2

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an+1=(an+1-an)+(an-an-1)+...(a2-a1)+a1=2^n+2^(n-1)+...+2+1=2*(2^n-1)=2^(n+1)-2+1
所以 an=2^n-1

因为 bn=n*2^n-n
所以 Sn=(1*2^1-1)+(2*2^2-2)+(3*2^3-3)+...+(n*2^n-n) 则2*Sn=(1*2^2-2)+(2*2^3-4)+(3*2^4-6)+...+((n-1)*2^n-2(n-1))+(n*2^(n+1)-2n)
所以 Sn=2*Sn-Sn=(1*2^2-2*2^2)+(2*2^3-3*2^3)+...+((n-1)*2^n-n*2^n)-n(n+1)/2+(n*2^(n+1))-(1*2^1)
=n*2^(n+1)-2n-2-(2^2+2^3+...+2^n)=(n-1)*2^(n+1)-n(n+1)/2+2

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