如图,正方形ABCD所在平面与平面四边形ABEF所在平面互相垂直,△ABE是...

发布网友发布时间：2024-10-03 05:12

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热心网友时间：2024-10-03 20:27

解答：（1）证明：因为平面ABEF⊥平面ABCD，BC?平面ABCD，平面ABEF∩平面ABCD=AB，所以BC⊥平面ABEF，所以BC⊥EF．
因为△ABE为等腰直角三角形，AB=AE，所以∠AEB=45°
又因为∠AEF=45°，所以∠FEB=90°，即EF⊥BE，
因为BC∩BE=B，所以EF⊥平面BCE．
（2）解：存在点M，当M为线段AE的中点时，PM∥平面BCE．
取BE的中点N，连接CN，MN，PM，则MN平行且等于12AB平行且等于PC，
所以PMNC为平行四边形，所以PM∥CN，
因为CN在平面BCE内，PM不在平面BCE内，
所以PM∥平面BCE；
（3）解：由EA⊥AB，平面ABEF⊥平面ABCD，易知，EA⊥平面ABCD，
作FG⊥AB，交BA的延长线于G，则FG∥EA，从而，FG⊥平面ABCD，
作GH⊥BD于G，连结FH，则由三垂线定理知，BD⊥FH，因此，∠AEF为二面角F-BD-A的平面角．
因为FA=FE，∠AEF=45°，所以∠AFE=90°，∠FAG=45°．
设AB=1，则AE=1，AF=22，FG=AF?sin∠FAG=12
在Rt△FGH中，∠GBH=45°，BG=AB+AG=1+12=32，GH=BG?sin∠GBH=32?22=324
在Rt△FGH中，tanFHG=FGGH=23，
故二面角F-BD-A的正切值为23．