高斯作出正17边形的依据是什么?

发布网友发布时间：2024-10-03 06:42

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热心网友时间：2024-12-12 20:22

高斯解决正17边形问题的创新之处在于将几何问题用代数方法解决。他证明了只有当边数为形如 p−qn 的数，其中 p 和 q 是不同的质数，时，正多边形可以用尺规作图。

高斯在论文中指出，在欧几里得时代，我们已经知道如何将圆三等分和五等分。但在接下来的两千年里，我们对正多边形用尺规作图的认识没有显著进步。几何学家们认定，除了这两种情况以及可以直接从其推导出的情况，任何其他正多边形都不可能用尺规作图。

高斯利用复数概念的几何意义，将其发扬光大。复平面因此有时被称为高斯平面。在复平面内，单位圆上的点代表复数 eπiθ，其中 θ 是角度。要找到除了1以外的 n 个点，等同于解方程 eπinθ。

对于正 n 边形问题，高斯的策略是将方程的根分成不同的周期。首先找到质数 p 的原根 g，即 eπig 是 p 的最小次幂，使得 eπing 除以 p 余1。这样，方程的 n 个根可以表示为 eπiθ，其中 θ 为一系列角度。

高斯将周期分为更小的周期，并构造二次方程。通过不断细分周期，他最终得到 n 个二次方程，从而求出所有 n 个根。

举例来说，对于正17边形问题，首先找到17的最小原根3。按照角度顺序标记根，然后构造二次方程求解。通过计算，可以得到正17边形的根，最后利用这些根进行尺规作图。具体步骤包括：作单位圆，标记特定的点，作出垂直平分线，从而得到正17边形。

高斯的成就不仅在于解决问题本身，还在于他的方*。他的工作开创了现代数论领域，并展示了他的数学天赋。他的故事提醒我们，天才与常人的区别不仅在于解决问题的能力，更在于解决问题时的独创性和勇气。