已知定义在R上的偶函数f (x)满足f(x+1)=f(1-x).求证f(x)为周期函数

发布网友发布时间：2024-10-02 22:12

共2个回答

热心网友时间：2024-11-26 19:53

证明:因为函数f(x)为偶函数,所以f(-x)=f(x),所以f(1-x)=f[-(x-1)]=f(x-1),因为f(x＋1)=f(1-x),且f(1-x)=f(x-1),所以f(x＋1)=f(x-1),所以f(x＋1＋1)=f(x-1＋1),即f(x＋2)=f(x),所以函数f(x)是以周期为2的周期函数。

热心网友时间：2024-11-26 19:54

证明：令t=x-1，则有
f(t+1)=f(1-t)
即f(x)=f(2-x)
又f(x)是偶函数
∴f(2-x)=f(x-2)
∴f(x)=f(x-2)
令a=x+2，则有
f(a)=f(a-2)
即f(x)=f(x+2)
∴f(x)是以2为最小周期的周期函数。

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